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        1. 在平面直角坐標(biāo)系xoy中,過定點(diǎn)C(p,0)作直線m與拋物線y2=2px(p>0)相交于A、B兩點(diǎn).
          (I)設(shè)N(-p,0),求
          NA
          NB
          的最小值;
          (II)是否存在垂直于x軸的直線l,使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值?若存在,求出l的方程;若不存在,請說明理由.
          分析:(Ⅰ)根據(jù)拋物線的方程得到焦點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)出直線與拋物線的兩個交點(diǎn)和直線方程,是直線的方程與拋物線方程聯(lián)立,得到關(guān)于y的一元二次方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,表達(dá)出兩個向量的數(shù)量積.
          (Ⅱ)對于存在性問題,可先假設(shè)存在,即假設(shè)滿足條件的直線l存在,其方程為x=a,再利用弦長公式,求出a,p的關(guān)系式,若出現(xiàn)矛盾,則說明假設(shè)不成立,即不存在;否則存在.
          解答:解:(I)依題意,可設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為:x=my+p
          x=my+p
          y2=2px
          ?y2-2pmy-2p2=0(2分)∴
          y1+y2=2pm
          y1y2=-2p2
          NA
          NB
          =(x1+p,y1)•(x2+p,y2)=(x1+p)(x2+p)+y1y2
           =(my1+2p)(my2+2p)+y1y2=(m2+1)y1y2+2pm(y1+y2)+4p2
          =2p2m2+2p2

          當(dāng)m=0時
          NA
          NB
          的最小值為2p2.(7分)
          (II)假設(shè)滿足條件的直線l存在,其方程為x=a,AC的中點(diǎn)為o′,l與以AC為直徑的圓
          相交于P,Q,PQ中點(diǎn)為H,則o′H⊥PQ,o′的坐標(biāo)為(
          x1+p
          2
          ,
          y1
          2
          )
          .∵|oP|=
          1
          2
          |AC|=
          1
          2
          (x1-p)2+y12
          =
          1
          2
          x12+p2
          (9分)
          ∴|PH|2=|oP|2-|oH|2=
          1
          4
          (x12+p2)-
          1
          4
          (2a-x1-p)2
          =(a-
          1
          2
          p)x1+a(p-a)

          |PQ|2=(2|PH|)2=4[(a-
          1
          2
          p)x1+a(p-a)]
          (13分)
          a-
          1
          2
          p
          =0得a=
          1
          2
          p
          .此時|PQ|=p為定值.故滿足條件的直線l存在,
          其方程為x=
          1
          2
          p
          (15分)
          點(diǎn)評:本題考查弦長的計算和直線與拋物線位置關(guān)系的綜合運(yùn)用,解題時要注意方程思想和弦長公式的合理運(yùn)用,注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知圓心在直線y=x+4上,半徑為2
          2
          的圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          9
          =1(a>0)
          與圓C的一個交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10.
          (1)求圓C的方程;
          (2)若F為橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)P在圓C上,且滿足PF=4,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A,B兩點(diǎn).若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是
          3
          5
          ,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
          12
          13
          ,則sin(α+β)的值是
          16
          65
          16
          65

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若焦點(diǎn)在x軸的橢圓
          x2
          m
          +
          y2
          3
          =1
          的離心率為
          1
          2
          ,則m的值為
          4
          4

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•泰州三模)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
          在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(0,1),B(0,-1),C(t,0),D(
          3t
          ,0)
          ,其中t≠0.設(shè)直線AC與BD的交點(diǎn)為P,求動點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程(以t為參數(shù))及普通方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•東莞一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的左焦點(diǎn)為F1(-1,0),且橢圓C的離心率e=
          1
          2

          (1)求橢圓C的方程;
          (2)設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1,A2,Q是橢圓C上異于A1,A2的任一點(diǎn),直線QA1,QA2分別交x軸于點(diǎn)S,T,證明:|OS|•|OT|為定值,并求出該定值;
          (3)在橢圓C上,是否存在點(diǎn)M(m,n),使得直線l:mx+ny=2與圓O:x2+y2=
          16
          7
          相交于不同的兩點(diǎn)A、B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對應(yīng)的△OAB的面積;若不存在,請說明理由.

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          同步練習(xí)冊答案