Question

設(shè)拋物線C：y²=2px（p＞0）焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為Q，過(guò)點(diǎn)F作直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，若∠QBF=90°，則|AF|-|BF|=

2p

．

Answer 1

分析：先假設(shè)方程與拋物線方程聯(lián)立，借助于求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而求出線段長(zhǎng)，進(jìn)而求出|AF|-|BF|．

解答：解：設(shè)AB方程為：y=k（x-

p

2

）（假設(shè)k存在），與拋物線y²=2px（p＞0）聯(lián)立得k²（x²-px+

p2

4

）=2px，
即k²x²-（k²+2）px+

(kp)2

4

=0
設(shè)兩交點(diǎn)為A（x₂，y₂），B（x₁，y₁），∠QBF=90°即（x₁-

p

2

）（x₁+

p

2

）+y₁²=0，
∴x₁²+y₁²=

p2

4

，∴x₁²+2px₁-

p2

4

=0，即（x₁+p）²=

5

4

p²，解得x₁=

-2+ 5

2

p，
∴B（

-2+ 5

2

p，

-2+ 5

p），|BQ|=

-1+ 5

2

p，|BF|=

-1+ 5

2

p，
∵x₁x₂=

p2

4

，x₁=

-2+ 5

2

p，
∴x₂=

2+ 5

2

p
∴A（

2+ 5

2

p，-

2+ 5

p），|AF|=

3+ 5

2

p，
∴|AF|-|BF|=2p，
故答案為：2p．

點(diǎn)評(píng)：直線與曲線相交問(wèn)題，通常是聯(lián)立方程組成方程組，從而可求相關(guān)問(wèn)題．新課標(biāo)中，橢圓通常作為壓軸題放在解答題中，因此填空題考查的一般都是雙曲線和拋物線的定義，比較新穎同時(shí)難度不是很高，符合高考命題的要求．