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        1. 矩形ABCD中,AB=6,BC=2,沿對角線BD將三角形ABD向上折起,使點A移至點P,使點P在平面BCD上的射影O在DC上,(如圖).
          (Ⅰ)求證:PD⊥PC;
          (Ⅱ)求直線CD與平面PBD所成角的正弦值.

          【答案】分析:(Ⅰ) 利用傳統(tǒng)方法,要證線線垂直,可先證線面垂直,本題只需要證明DP⊥平面PCB 即可,
          (Ⅱ)解法一:先作二面角的平面角,作CF⊥PB,F(xiàn)為垂足,從而可知∠CDF是CD與平面BDP所成的角,故可求;
          解法二:以平行于BC的直線為x軸,以O(shè)C為y軸,以O(shè)P為z軸建立空間直角坐標系,用坐標表示向量,從而轉(zhuǎn)化為向量的夾角求解即可.
          解答:證明:(Ⅰ)∵PO⊥平面BCD,∴PO⊥BC
          ∴平面PCD⊥平面BCD
          又∵BC⊥CD
          ∴BC⊥平面PCD∴BC⊥PD
          又∵BP⊥PD∴DP⊥平面PCB
          ∴DP⊥CP                 …(7分)
          (Ⅱ)解法一:
          作CF⊥PB,F(xiàn)為垂足,∴DP⊥平面PCB∴平面PBD⊥平面BCP
          ∵CF⊥平面PDB,∴∠CDF是CD與平面BDP所成的角,
          在Rt△PBC中,∴∠BCP=90°,,∴,∴CF•BP=BC•CP,∴,
          在Rt△CDF中,
          ∴CD與平面BDP所成的角的正弦值為…(14分)
          解法二:
          由題意知 DC=6DP⊥CP
          DO=2OC=4
          如圖,以平行于BC的直線為x軸,以O(shè)C為y軸,以O(shè)P為z軸建立空間直角坐標系,
          則O(0,0,0),,D(0,-2,0),C(0,4,0),
          ,
          設(shè)平面PBD的法向量為,
          則 
          令y=1,則,,∴
          記CD與平面BDP所成的角為θ則  =
          ∴CD與平面BDP所成的角的正弦值為…(14分)
          點評:本題以平面圖形的翻折為素材,考查線線垂直,考查線面角,一例兩法,應(yīng)注意細細體會.
          練習(xí)冊系列答案
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          AP
          AB
          AD
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          1
          3
          1
          3

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          2
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          (1)求證:FD∥平面ABE;
          (2)求二面角E-AB-C的余弦值.

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          AB
          |=4
          ,|
          BC
          |=3
          ,BE⊥AC于E,
          AB
          =
          a
          AD
          =
          b
          ,若以
          a
          、
          b
          為基底,則
          BE
          可表示為
          16
          25
          b
          -
          9
          25
          a
          16
          25
          b
          -
          9
          25
          a

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