Question

選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-3|
（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≤|2a-1|的解集非空，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數(shù)f（x）表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1和3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，而數(shù)軸上的-2、4對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1和3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于6，由此可得不等式f（x）≤6的解集．
（Ⅱ）由于關(guān)于x的不等式f（x）≤|2a-1|的解集非空，函數(shù)f（x）的最小值為4，可得|2a-1|≥4，由此解得a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-3|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1和3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
而數(shù)軸上的-2、4對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1和3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于6，
故不等式f（x）≤6的解集為[-2，4]．
（Ⅱ）由于關(guān)于x的不等式f（x）≤|2a-1|的解集非空，函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-3|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1和3對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，f（x）的最小值為4，
∴|2a-1|≥4，∴2a-1≥4，或2a-1≤-4，解得a≥

5

2

，或a≤-

3

2

，
故所求的a的范圍為[

5

2

，+∞）∪（-∞，-

3

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．