Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且Sn=1-

1

2

an(n∈N*)
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）已知數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=2n-1，記c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）再寫一式，兩式相減，即可證得數(shù)列{a_n}是以

2

3

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列，由此可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用錯(cuò)位相減法，可求數(shù)列{C_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a1=1-

1

2

a1，∴a1=

2

3

．
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=1-

1

2

an-1+

1

2

an-1，
∴

3

2

an=

1

2

an-1，∴

an

an-1

=

1

3

∴數(shù)列{a_n}是以

2

3

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列
∴an=

2

3

×(

1

3

)n-1=

2

3n

．…（6分）
（Ⅱ）∵cn=(2n-1)•

2

3n

，∴Tn=2[1×

1

3

+3×

1

32

+…+(2n-1)×

1

3n

]．①
∴

1

3

Tn=2[1×

1

32

+3×

1

33

+…+(2n-1)×

1

3n+1

]．②
①-②，得

2

3

Tn=2[

1

3

+

2

32

+…+

2

3n

-(2n-1)×

1

3n+1

]．
∴

2

3

Tn=2[

1

3

+2•

1 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-(2n-1)•

1

3n+1

]．
∴Tn=2-

2n+2

3n

（n∈N^*）．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．