Question

【題目】如圖，已知是橢圓的一個頂點(diǎn)，的短軸是圓的直徑，直線，過點(diǎn)P且互相垂直，交橢圓于另一點(diǎn)D，交圓于A，B兩點(diǎn)

Ⅰ求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

Ⅱ求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

Ⅰ由題意可得，，然后求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Ⅱ因為直線，過點(diǎn)P且互相垂直，可設(shè)：，：，求出圓心O到直線的距離以及AB，直線與圓O有兩個交點(diǎn)，推出，聯(lián)立，轉(zhuǎn)化求解PD的距離，求出三角形的面積，通過二次函數(shù)的性質(zhì)求解面積的最大值．

Ⅰ由題意是橢圓的一個頂點(diǎn)，的短軸是圓的直徑，

可得，，

則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

Ⅱ因為直線，過點(diǎn)P且互相垂直，可設(shè)：，：，

圓心O到直線的距離，

．

直線與圓O有兩個交點(diǎn)，，所以，

又由，可得．

．

所以

．

令，，則，

，

當(dāng)，即時，有最大值為．