Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1）．
（1）若對于定義域內(nèi)的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求實數(shù)b的值；
（2）若函數(shù)f（x）在定義域是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）求證：

1

23

+

2

33

+

3

43

+…+

n-1

n3

＜ln(n+1)．(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意f（x）≥f（1）成立，得f（x）在定義域上的最小值是f（1），函數(shù)在x=1處取得最小值，說明x=1是函數(shù)的極小值點，f′（1）=0，解之可得b=-4；
（2）根據(jù)題意，f′（x）=2x+

b

x+1

，在（-1，+∞）上的符號只有一種，即f′（x）≥0恒成立或f′（x）≤0恒成立，再根據(jù)函數(shù)f′（x）的特征可得在（-1，+∞）上f′（x）總有正值，f′（x）≤0不可能恒成立，解f′（x）≥0恒成立，可得b取值范圍是[

1

2

，+∞)；
（3）先構(gòu)造不等式，進行恰當(dāng)放縮：

n-1

n3

＜

n-1

n3-1

=

1

n2+n+1

＜

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，(n≥2)，利用這個式子進行累加，得

1

23

+

2

33

+

3

43

+…+

n-1

n3

＜

1

2

，結(jié)合n≥2，ln(n+1)≥ln3＞ln

e

=

1

2

可得不等式成立．

解答：解：（1）根據(jù)題意f（x）≥f（1）成立，得f（x）在定義域（-1，+∞）上的最小值是f（1），
∴函數(shù)在x=1處取得最小值，說明x=1是函數(shù)的極小值點，
因為f′（x）=2x+

b

x+1

，所以f′（1）=0，得2+

b

2

=0，可得b=-4
經(jīng)檢驗b=-4符合題意；
（2）函數(shù)f（x）在定義域是單調(diào)函數(shù)，說明
f′（x）=2x+

b

x+1

，在（-1，+∞）上的符號只有一種，即f′（x）≥0恒成立或f′（x）≤0恒成立，
①根據(jù)函數(shù)的特征可得在（-1，+∞）上f′（x）總有正值，f′（x）≤0不可能恒成立，
②f′（x）≥0恒成立，即

b+2x(x+1)

x+1

≥0，變形為b≥-2x²-2x，
而t(x)=-2x 2-2x在(-1，+∞)上的最大值為t(-

1

2

)=

1

2

故b≥

1

2

綜合①②知，實數(shù)b取值范圍是[

1

2

，+∞)
（2）∵

n-1

n3

＜

n-1

n3-1

=

n-1

(n-1)(n2+n+1)

=

1

n2+n+1

＜

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，(n≥2)
∴

1

23

+

2

33

+

3

43

+…+

n-1

n3

＜(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=

1

2

-

1

n+1

＜

1

2

．
又∵n≥2，ln(n+1)≥ln3＞ln

e

=

1

2

．故不等式成立．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)與數(shù)列、不等式相綜合的問題，屬于難題．利用分類討論思想和不等式放縮的技巧，是解決本題的關(guān)鍵，也是思考的難點．