Question

2008年世界經(jīng)濟出現(xiàn)嚴(yán)重衰退，我國政府為了刺激經(jīng)濟增長，2009年開始加大貨幣貸款量，為一批中小企業(yè)解決資經(jīng)短缺問題．某私營企業(yè)獲得一筆貸款準(zhǔn)備新建一棟面積為10000m²，高為10m，底面為矩形的廠房，由于受地理環(huán)境的影響，矩形的一邊（南北方向）不能超過a（m），已知廠房的地面造價為800元/m²，頂?shù)脑靸r為500元/m²，墻壁的造價為600元/m²，設(shè)廠房南北方向長為x（m），造價為y（元）．
（Ⅰ）寫出用x（m）表示y（元）的函數(shù)關(guān)系式并指出定義域；
（Ⅱ）求x為何值時廠房的造價最低，并求出最低價．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，設(shè)出南北方向的邊長，直接寫出用x（m）表示y（元）的函數(shù)關(guān)系式．
（Ⅱ）分別分a≥100時以及0＜a＜100時，根據(jù)基本不等式與函數(shù)單調(diào)性求出最值．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)題設(shè)，南北方向的邊長為xm，0＜x≤a，
則寬為：

10000

x

m，矩形的周長為W，
那么W=2（x+

10000

x

，墻的面積為10W=20（x+

10000

x

）
所以y=8000000+5000000+12000
y=13000000+12000（x+

10000

x

）
其定義域為x∈（0，a]
（Ⅱ）由（Ⅰ）y=13000000+12000（x+

10000

x

）
①a≥100時，y≥1300000+2400

x• 10000 x

=1540000
∴顯然當(dāng)

x

=

100

x

即x=100時
y_min=15400000
②當(dāng)0＜a＜100時
設(shè)x₁＜x₂＜a
（x₂+

1000

x2

）-（x₁+

1000

x1

）
=（x₂-x₁）

(x2-x1)(x1x2-1000)

x1•x2

＜0
∴y=13000000+12000（x+

1000

x

）
在區(qū)間（0，a]上是減函數(shù)
則當(dāng)x=a時，y取最小值y_min=13000000+12000（a+

1000

a

）
故當(dāng)a≥100時
y_min=15400000元
當(dāng)0＜a＜100時，y_min=1300000+12000（a+

1000

a

）

點評：本題考查函數(shù)模型的選取與應(yīng)用，通過對實際問題的分析，轉(zhuǎn)化為函數(shù)表達式，通過對基本不等式的運用求解最值，考查學(xué)生對知識的熟練運用能力，屬于中檔題．