Question

（本題滿分18分，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）

已知函數(shù)，如果存在給定的實(shí)數(shù)對(duì)（），使得恒成立，則稱為“S-函數(shù)”.

（1）判斷函數(shù)是否是“S-函數(shù)”；

（2）若是一個(gè)“S-函數(shù)”，求出所有滿足條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)；

（3）若定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052209591089068570/SYS201205221001212812460409_ST.files/image007.png">的函數(shù)是“S-函數(shù)”，且存在滿足條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)和，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052209591089068570/SYS201205221001212812460409_ST.files/image012.png">，求當(dāng)時(shí)函數(shù)的值域.

 

 

Answer 1

【答案】

 

(1)是

(2) 滿足是一個(gè)“S-函數(shù)”的常數(shù)（a, b）=

(3)

【解析】解：（1）若是“S-函數(shù)”，則存在常數(shù)，使得 (a+x)(a-x)=b.

即x2=a2-b時(shí)，對(duì)xÎR恒成立.而x2=a2-b最多有兩個(gè)解，矛盾，

因此不是“S-函數(shù)”.………………………………………………3分

若是“S-函數(shù)”，則存在常數(shù)a,b使得，

即存在常數(shù)對(duì)（a, 32a）滿足.

因此是“S-函數(shù)”………………………………………………………6分

（2）是一個(gè)“S-函數(shù)”，設(shè)有序?qū)崝?shù)對(duì)（a, b）滿足:

則tan(a-x)tan(a+x)=b恒成立.

當(dāng)a=時(shí)，tan(a-x)tan(a+x)= -cot2(x)，不是常數(shù).……………………7分

因此，,

則有.

即恒成立.  ……………………………9分

即,

當(dāng),時(shí)，tan(a-x)tan(a+x)=cot2(a)=1.

因此滿足是一個(gè)“S-函數(shù)”的常數(shù)（a, b）=.…12分

(3) 函數(shù)是“S-函數(shù)”，且存在滿足條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)和，

于是

即,

 ，.……………………14分

.………16分

                  

因此, …………………………………………17分

綜上可知當(dāng)時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052209591089068570/SYS201205221001212812460409_DA.files/image003.png">.……………18分