Question

已知方程x²+y²-2（t+3）x+2（1-4t²）y+16t⁴+9=0（t∈R）的圖形是圓．
（1）求t的取值范圍；
（2）求其中面積最大的圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）把已知方程用配方法化為圓的標準方程，再由r²＞0求出t范圍；
（2）當半徑最大時圓的面積最大，即求二次函數y═-7t²+6t+1的最大值，驗證在對稱軸的值是否取到；再代入求出半徑即可．
解答：解：（1）方程x²+y²-2（t+3）x+2（1-4t²）y+16t⁴+9=0，配方得
（x-t-3）²+（y+1-4t²）²=（t+3）²+（4t²-1）²-16t⁴-9
即（x-t-3）²+（y+1-4t²）²=-7t²+6t+1
∴r²=-7t²+6t+1＞0，解得：＜t＜1
（2）由（1）知
∴當t=∈（，1）時，r有最大值即r==；
∴，此時圓面積最大，
所對應圓的方程是．
點評：本題考查了二元二次方程表示圓的條件和求半徑的最大值，可用配方法將方程化為標準方程后，利用r²＞0求出參數的范圍，求半徑的最大值時需要驗證對稱軸的值是否取到．