Question

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），點(diǎn)P在橢圓上，且滿足|PF₁|=2|PF₂|，∠PF₁F₂=30°，直線y=kx+m與圓相切，與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．
（I）求橢圓的方程；
（II）證明∠AOB為定值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

解：（I）由題意，|PF₁|=2|PF₂|，∠PF₁F₂=30°，|F₁F₂|=2，
解三角形得，由橢圓定義得，
從而，又c=1，則，所以橢圓的方程為（6分）
（II）設(shè)交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立消去得（2+3k²）x²+6kmx+3m²-6=0
由韋達(dá)定理得（9分）
又直線y=kx+m與圓相切，
則有（11分）
從而x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=（k²+1）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=（12分）•
所以，即∠AOB=90°為定值．（13分）
分析：（I）由題意，|PF₁|=2|PF₂|，∠PF₁F₂=30°，|F₁F₂|=2，解三角形得，由此能夠?qū)С鰴E圓的方程．
（II）設(shè)交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立，消去得（2+3k²）x²+6kmx+3m²-6=0，由韋達(dá)定理得，又直線y=kx+m與圓相切，則有，由此能夠求出∠AOB=90°為定值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．