Question

設二次函數(shù)f（x）=x²-（2a+1）x+3
（1）若函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為[2，+∞），求實數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）內是增函數(shù)，求a的范圍．

Answer 1

分析：先將二次函數(shù)配方，找到其對稱軸，明確單調性，再研究對稱軸與區(qū)間的位置關系求解．
（1）根據函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為[2，+∞），得到

2a+1

2

=2，解此方程即可求得實數(shù)a的值；
（2）根據函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，得到

2a+1

2

≤2，解此不等式即可求得a的范圍．

解答：解：函數(shù)y=x^2_-（2a+1）x+3=（x-

2a+1

2

）²+3-(

2a+1

2

)2
其對稱軸為：x=

2a+1

2

（1）∵函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為[2，+∞），
∴

2a+1

2

=2，解得a=

3

2

；
（2）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，

2a+1

2

≤2，解得a≤

3

2

．

點評：此題是個中檔題．本題主要考查二次函數(shù)配方法研究其單調性，同時說明單調性與對稱軸和開口方向有關．解題時注意（1）（2）的區(qū)別：單調增區(qū)間是[2，+∝），說明二次函數(shù)的對稱軸是x=2；在區(qū)間[2，+∝）內是增函數(shù)，說明該區(qū)間是函數(shù)遞增區(qū)間的子區(qū)間，因此二次函數(shù)的對稱軸在該區(qū)間的左邊．