Question

已知函數(shù)f(x)=sinx-

3

cosx+2，記函數(shù)f（x）的最小正周期為β，向量

a

=(2，cosα)，

b

=(1，tan(α+

β

2

))（0＜α＜

π

4

），且

a

•

b

=

7

3

．
（Ⅰ）求f（x）在區(qū)間[

2π

3

，

4π

3

]上的最值；
（Ⅱ）求

2cos2α-sin2(α+β)

cosα-sinα

的值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)輔助角公式化簡，可得f（x）=2sin(x-

π

3

)+2．再由x∈[

2π

3

，

4π

3

]，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)加以計算，可得f（x）的最小值與最大值；
（II）根據(jù)三角函數(shù)周期公式得β=2π，利用向量的數(shù)量積公式與正弦的誘導公式算出

a

•

b

=2+sinα=

7

3

，解得sinα=

1

3

，從而得出cosα=

2 2

3

．再利用三角函數(shù)的誘導公式化簡，可得原式=2cosα=

4 2

3

．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)題意，可得
f(x)=sinx-

3

cosx+2=2(sinxcos

π

3

-cosxsin

π

3

)+2=2sin(x-

π

3

)+2．
∵x∈[

2π

3

，

4π

3

]，可得x-

π

3

∈[

π

3

，π]，∴sin(x-

π

3

)∈[0，

π

2

]，
當x=

4π

3

時，f（x）的最小值是2；當x=

5π

6

時，f（x）的最大值是4．
（Ⅱ）∵f（x）=2sin(x-

π

3

)+2的周期T=2π，∴β=2π，
由此可得

a

•

b

=2+cosα•tan(α+

β

2

)=2+cosαtan(α+π)=2+sinα=

7

3

，解之得sinα=

1

3

．
∴

2cos2α-sin2(α+β)

cosα-sinα

=

2cos2α-sin2(α+π)

cosα-sinα

=

2cos2α-sin2α

cosα-sinα

=

2cos α(cosα-sinα)

cosα-sinα

=2cosα，
∵0＜α＜

π

4

，可得cosα=

1-sin2α

=

2 2

3

，
∴

2cos2α-sin2(α+β)

cosα-sinα

=2cosα=

4 2

3

．

點評：本題將一個三角函數(shù)式化簡，求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，并且在已知向量數(shù)量積的情況下，求三角函數(shù)分式的值．著重考查了三角恒等變換公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導公式等知識，屬于中檔題．