Question

【題目】設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn)．

（1）求直線AB的方程；

（2）判斷A、B、C、D四點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上？若是求出圓的方程，若不是說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，.

【解析】

（1）利用點(diǎn)差法列式進(jìn)行化簡(jiǎn)，由此求得直線的斜率，進(jìn)而求得直線的方程.（2）求得直線的方程，代入橢圓方程，利用根與系數(shù)關(guān)系以及弦長(zhǎng)公式，求得弦長(zhǎng)，求得中點(diǎn)的坐標(biāo).同理求得弦長(zhǎng)，計(jì)算到直線的距離，由此計(jì)算出

（1）設(shè)，，

則有,

依題意，，．

是AB的中點(diǎn)，

，，從而．

又，在橢圓內(nèi)，

直線AB的方程為，即．

（2）垂直平分AB，直線CD的方程為，即，

代入橢圓方程，整理得①．

又設(shè)，，CD的中點(diǎn)為，則，是方程①的兩根，

，且，，即中點(diǎn),

于是由弦長(zhǎng)公式可得

將直線AB的方程，代入橢圓方程得,

同理可得．

點(diǎn)M到直線AB的距離為．

，四點(diǎn)共圓，

且原方程為：.