Question

已知橢圓的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B，直線(xiàn)x=t（-2＜t＜2）與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A，M，N的圓與經(jīng)過(guò)三點(diǎn)B，M，N的圓分別記為圓C₁與圓C₂．
（1）求證：無(wú)論t如何變化，圓C₁與圓C₂的圓心距是定值；
（2）當(dāng)t變化時(shí)，求圓C₁與圓C₂的面積的和S的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)知A的坐標(biāo)（-2，0），B的坐標(biāo)（2，0），M的坐標(biāo)，N的坐標(biāo)，線(xiàn)段AM的中點(diǎn)P，由此能夠推導(dǎo)出無(wú)論t如何變化，為圓C₁與圓C₂的圓心距是定值．
（2）圓C₁的半徑為|AC₁|=，圓C₂的半徑為，則（-2＜t＜2）
由此能夠求出圓C₁與圓C₂的面積的和S的最小值．
解答：解：（1）易得A的坐標(biāo)（-2，0），B的坐標(biāo)（2，0），
M的坐標(biāo)，N的坐標(biāo)，線(xiàn)段AM的中點(diǎn)P，
直線(xiàn)AM的斜率（3分）
又PC₁⊥AM，∴直線(xiàn)PC₁的斜率
∴直線(xiàn)PC₁的方程，∴C₁的坐標(biāo)為
同理C₂的坐標(biāo)為（7分）∴，
即無(wú)論t如何變化，為圓C₁與圓C₂的圓心距是定值．（9分）
（2）圓C₁的半徑為|AC₁|=，圓C₂的半徑為，
則（-2＜t＜2）
顯然t=0時(shí)，S最小，．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線(xiàn)和直線(xiàn)的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．