Question

(本小題滿分14分)已知圓：，點，，點在圓上運動，的垂直平分線交于點.

(Ⅰ)求動點的軌跡的方程；

(Ⅱ)設(shè)分別是曲線上的兩個不同點，且點在第一象限，點在第三象限，若，為坐標(biāo)原點，求直線的斜率；

(Ⅲ)過點，且斜率為的動直線交曲線于兩點，在軸上是否存在定點，使以為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

Answer 1

（本小題滿分14分）

解: (Ⅰ) 因為的垂直平分線交 于點. 所以

 

所以動點的軌跡是以點為焦點的橢圓……………2分

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

則，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為……4分

(Ⅱ) 設(shè)，則     ①

因為

則     ②

由①②解得……………7分

所以直線的斜率……………8分

(Ⅲ)直線方程為，聯(lián)立直線和橢圓的方程得:

   得…………9分

由題意知：點在橢圓內(nèi)部，所以直線與橢圓必交與兩點，

設(shè)則

假設(shè)在軸上存在定點，滿足題設(shè)，則

因為以為直徑的圓恒過點,

則，即:  (*)

因為

則(*)變?yōu)?sub>…………11分

 

由假設(shè)得對于任意的,恒成立，

即解得……13分

因此，在軸上存在滿足條件的定點，點的坐標(biāo)為.………………14分