Question

【題目】（原創(chuàng)，較難）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，與y軸正半軸交于點(diǎn)B，若為等腰直角三角形，且直線被圓所截得的弦長為2.

（1）求橢圓的方程；（2）直線l與橢圓交于點(diǎn)A、C，線段AC的中點(diǎn)為M，射線MO與橢圓交于點(diǎn)P，點(diǎn)O為重心，探求面積是否為定值，若是求出這個值，若不是求的取值范圍

Answer 1

【答案】(1) .

(2) 面積為定值.

【解析】

分析：（1）由為等腰直角三角形可得，由直線：被圓所截得的弦長為2，可得，，從而可得橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、結(jié)合重心坐標(biāo)公式求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程可得，利用弦長公式、點(diǎn)到直線距離公式以及三角形面積公式可得的面積為，化簡可得結(jié)果.

詳解：（1）由為等腰直角三角形可得，直線：被圓所截得的弦長為2，所以，，所以橢圓的方程為．

（2）若直線的斜率不存在，則．

若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，

即則,,,

由題意點(diǎn)為重心，設(shè)，則，，

所以，，代入橢圓，得

，整理得，

設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，則的面積

．

綜上可得的面積為定值．