Question

如圖在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C₁：(x＋3)²＋(y－1)²＝4和圓C₂：(x－4)²＋(y－5)²＝4.

(1)若直線l過(guò)點(diǎn)A(4,0)，且被圓C₁截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程；

(2)設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線l₁和l₂，它們分別與圓C₁和C₂相交，且直線l₁被圓C₁截得的弦長(zhǎng)與直線l₂被C₂截得的弦長(zhǎng)相等．試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：(1)由于直線x＝4與圓C₁不相交，所以直線l的斜率存在．設(shè)直線l的方程為y＝k(x－4)，圓C₁的圓心到直線l的距離為d，因?yàn)閳AC₁被直線l截得的弦長(zhǎng)為2，所以d＝＝1.

由點(diǎn)到直線的距離公式得d＝，

從而k(24k＋7)＝0，即k＝0或k＝－，

所以直線l的方程為y＝0或7x＋24y－28＝0.

(2)設(shè)點(diǎn)P(a，b)滿足條件，不妨設(shè)直線l₁的方程為y－b＝k(x－a)，k≠0，則直線l₂的方程為y－b＝－(x－a)．因?yàn)閳AC₁和C₂的半徑相等，且圓C₁被直線l₁截得的弦長(zhǎng)與圓C₂被直線l₂截得的弦長(zhǎng)相等，所以圓C₁的圓心到直線l₁的距離和圓C₂的圓心到直線l₂的距離相等，即

＝，

整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，從而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5，因?yàn)?i>k的取值有無(wú)窮多個(gè)，所以

或

解得或

這樣點(diǎn)P只可能是點(diǎn)P₁或點(diǎn)P₂.

經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P₁和P₂滿足題目條件．