Question

請考生注意：重點高中學生只做（1）、（2）兩問，一般高中學生只做（1）、（3）兩問．
已知P是圓上任意一點，點F₂的坐標為（1，0），直線m分別與線段F₁P、F₂P交于M、N兩點，且．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）斜率為k的直線l與曲線C交于P、Q兩點，若（O為坐標原點）．試求直線l在y軸上截距的取值范圍；
（3）是否存在斜率為的直線l與曲線C交于P、Q兩點，使得（O為坐標原點），若存在求出直線l的方程，否則說明理由．

Answer 1

解：（1）∵，∴點N是線段PF₂的中點
∵，
∴，化簡可得
∴NM⊥PF₂，可得MN是線段PF₂的垂直平分線
∴=，可得+==4
因此，點M的軌跡是以F₁、F₂為焦點的橢圓，長軸2a=4，焦距2c=1，可得b²=a²-c²=3
橢圓方程為+=1，即為點M的軌跡C的方程；
（2）設直線l的方程為y=kx+n，與橢圓+=1消去y，得（3+4k²）x²+8knx+4n²-12=0
可得根的判別式△=64k²n²-16（3+4k²）（4n²-12）＞0，化簡得4k²-n²+3＞0…①
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，x₁x₂=
∵
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（k₁x+n）（k₂x+n）=0，（1+k²）x₁x₂+kn（x₁+x₂）+n²=0
∴-（1+k²）+•kn+n²=0，整理得12k²=7n²-12…②
①②聯(lián)解，得n²，再由②知7n²≥12，可得n≤-或n≥
故直線l在y軸上截距的取值范圍是（-∞，-]∪[，+∞）
（2）設直線l的方程為y=x+n，與橢圓+=1消去y，得x²+nx+n²-3=0
可得根的判別式△=n²-4（n²-3）＞0，化簡得n²＜4…①
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-n，x₁x₂=n²-3
∵
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（x+n）（x+n）=0，x₁x₂+n（x₁+x₂）+n²=0
∴（n²-3）+n（-n）+n²=0，整理得n²=…②
對照①②可得，n=±
所以存在直線l的方程：y=x+或y=x-，使得．
分析：（1）根據(jù)題意，可得MN是線段PF₂的垂直平分線，所以點M的軌跡是以F₁、F₂為焦點的橢圓，結合題中數(shù)據(jù)不難得到軌跡C的方程；
（2）設直線l的方程為y=kx+n，與橢圓方程聯(lián)解消去y，再結合根與系數(shù)的關系將化為關于k、n的表達式，整理得12k²=7n²-12，最后用根的判別式建立不等式并解之，即可得到直線l在y軸上截距的取值范圍；
（3）設直線l的方程為y=x+n，與橢圓方程聯(lián)解消去y，再結合根與系數(shù)的關系將化為關于k、n的表達式，整理得n²=，結合根的判別式大于0，即可得n=±，從而得到符合題意的直線l的方程．
點評：本題以向量的運算為載體，求曲線的軌跡方程，并且探索直線的存在性，著重考查了向量的數(shù)量積運算、求軌跡方程的一般方法和直線與橢圓的位置關系等知識，屬于中檔題．