Question

某公司2009年9月投資14 400萬(wàn)元購(gòu)得上海世界博覽會(huì)某種紀(jì)念品的專利權(quán)及生產(chǎn)設(shè)備，生產(chǎn)周期為一年．已知生產(chǎn)每件紀(jì)念品還需要材料等其他費(fèi)用20元．為保證有一定的利潤(rùn)，公司決定該紀(jì)念品的銷售單價(jià)不低于150元，進(jìn)一步的市場(chǎng)調(diào)研還發(fā)現(xiàn)：該紀(jì)念品銷售單價(jià)定在150元到250元之間較為合理（含150元及250元）．并且當(dāng)銷售單價(jià)定為150元時(shí)，預(yù)測(cè)年銷售量為150萬(wàn)件；當(dāng)銷售單價(jià)超過(guò)150元但不超過(guò)200元時(shí)，預(yù)測(cè)每件紀(jì)念品的銷售價(jià)格每增加1元，年銷售量將減少1萬(wàn)件；當(dāng)銷售單價(jià)超過(guò)200元但不超過(guò)250元時(shí)，預(yù)測(cè)每件紀(jì)念品的銷售價(jià)格每增加1元，年銷售量將減少1.2萬(wàn)件．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研的結(jié)果，設(shè)該紀(jì)念品的銷售單價(jià)為x（元），年銷售量為u（萬(wàn)件），平均每件紀(jì)念品的利潤(rùn)為y（元）．
（1）求年銷售量u關(guān)于銷售單價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該公司考慮到消費(fèi)者的利益，決定銷售單價(jià)不超過(guò)200元，問(wèn)銷售單價(jià)x為多少時(shí)，平均每件紀(jì)念品的利潤(rùn)y最大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，可得分段函數(shù)模型；
（2）求出平均每件紀(jì)念品的利潤(rùn)函數(shù)，利用基本不等式求最值．

解答：解：（1）當(dāng)150＜x≤200（x∈N^*）時(shí)，u（x）=150-（x-150）=300-x，此時(shí)u（200）=100；
當(dāng)200＜x≤250（x∈N^*）時(shí)，u（x）=u（200）-1.2（x-200）=-1.2x+340，
所以u(píng)（x）=

300-x，150＜x≤200 -1.2x+340，200＜x≤250

，其中x∈N^*；
（2）當(dāng)150＜x≤200（x∈N^*）時(shí)，u（x）=300-x，
∴y=x-20-

14400

u(x)

=x-20-

14400

300-x

=-[（300-x）+

14400

300-x

]+280，
∵300-x＞0，∴（300-x）+

14400

300-x

≥240，當(dāng)且僅當(dāng)300-x=

14400

300-x

，即x=180時(shí)，等號(hào)成立，
∴y≤40，當(dāng)且僅當(dāng)x=180時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng)x=180時(shí)，平均每件紀(jì)念品的利潤(rùn)y最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的建立，考查基本不等式求最值，確定函數(shù)模型是關(guān)鍵．