Question

如圖，在長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC₁的中點(diǎn).

（1）證明：B F//平面E CD₁
（2）求二面角D₁—EC—D的余弦值.

Answer 1

（1）證明：取CD₁中點(diǎn)G，連結(jié)FG得出且FG //BE；
由四邊形FG EB為平行四邊形得到BF //GE，證得B F//平面E CD₁；
（2）cos∠DED₁.

試題分析：（1）證明：取CD₁中點(diǎn)G，連結(jié)FG
∵F為CC₁的中點(diǎn).D₁  ∴且FG //C₁D₁
∵且AB //C₁D₁∴且FG //BE
∴四邊形FG EB為平行四邊形∴BF //GE   4分
∵平面E CD₁    平面E CD₁
∴B F//平面E CD₁   7分
（2）連結(jié)DE
∵AD=AA₁=1，AB="2" ,  E為AB的中點(diǎn)
∴   9分
∵平面ABCD   ∴E C
又  平面E DD₁    平面E DD₁
∴平面E DD₁
∴ E D₁   11分
∴∠DED₁為二面角D₁—EC—D的平面角.    12分
中  ∴中
∴cos∠DED₁   14分
點(diǎn)評：中檔題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟。解題過程中，注意轉(zhuǎn)化成平面幾何問題，是解決立體幾何問題的一個(gè)基本思路。