Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，動(dòng)點(diǎn)P到直線x=4的距離與它到點(diǎn)F（2，0）的距離之比為

2

．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F（2，0）作垂直于x軸的直線l，求軌跡C與y軸及直線l圍成的封閉圖形的面積．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x，y），由題目中的：“距離之比”，將距離用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示，得到關(guān)于x，y的關(guān)系式即可；
（2）由于所求封閉圖形不是規(guī)則的圖形，考慮利用積分求面積，先構(gòu)造一個(gè)函數(shù)即y=

2

2

8-x2

．之后求其積分即可．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），由題意有

|x-4|

(x-2)2+y2

=

2

，
化簡(jiǎn)得

x2

8

+

y2

4

=1．
即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）當(dāng)y≥0時(shí)，y=

8-x2 2

，即y=

2

2

8-x2

．
設(shè)所求的圖形的面積為S，則S=2

∫

2 0

2

2

8-x2

dx=

2

∫

2 0

8-x2

dx
=

2

(

1

2

×2×2+

1

2

×8×

π

4

)=2

2

+

2

π．
故所求的封閉圖形的面積2

2

+

2

π．

點(diǎn)評(píng)：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問(wèn)題．求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系．