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        2. 


          
	
          
		
	
          
	
          
		
          
			
		
          
		
          
	
          

          



          

          

          


          


          
	
          
			
          

			
          
				
          對于平面內(nèi)的命題：“△ABC內(nèi)接于圓O，圓O的半徑為R，且O點在△ABC內(nèi)，連接AO，BO，CO并延長分別交對邊于A1，B1，C1，則AA1+BB1+CC1≥
          9R
          2
          ”．
          證明如下：
          OA1
          AA1
          +
          OB1
          BB1
          +
          OC1
          CC1
          =
          S△OBC
          S△ABC
          +
          S△OAC
          S△ABC
          +
          S△OAB
          S△ABC
          =1          ，
          即：
          AA1-R
          AA1
          +
          BB1-R
          BB1
          +
          CC1-R
          CC1
          =1          ，即
          1
          AA1
          +
          1
          BB1
          +
          1
          CC1
          =
          2
          R
          ，
          由柯西不等式，得(AA1+BB1+CC1)(
          1
          AA1
          +
          1
          BB1
          +
          1
          CC1
          )≥9          ．∴AA1+BB1+CC1≥
          9R
          2
          ．
          將平面問題推廣到空間，就得到命題“四面體ABCD內(nèi)接于半徑為R的球O內(nèi)，球心O在該四面體內(nèi)，連接AO，BO，CO，DO并延長分別與對面交于A1，B1，C1，D1，則
          AA1+BB1+CC1+DD1≥
          16R
          3
          AA1+BB1+CC1+DD1≥
          16R
          3
          ”．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：由三角形類比四面體，由面積類比體積，結(jié)合柯西不等式，即可得到結(jié)論．
          解答：解：類比證明方法可得：
          OA1
          AA1
          +
          OB1
          BB1
          +
          OC1
          CC1
          +
          OD1
          DD1
          =
          VO-DBC
          VA-BCD
          +
          VO-ACD
          VA-BCD
          +
          VO-ABD
          VA-BCD
          +
          VO-ABC
          VA-BCD
          =1
          ∴
          AA1-R
          AA1
          +
          BB1-R
          BB1
          +
          CC1-R
          CC1
          +
          DD1-R
          DD1
          =1
          ∴
          1
          AA1
          +
          1
          BB1
          +
          1
          CC1
          +
          1
          DD1
          =
          3
          R

          由柯西不等式，得(AA1+BB1+CC1+DD1)(
          1
          AA1
          +
          1
          BB1
          +
          1
          CC1
          +
          1
          DD1
          )≥16
          ∴AA1+BB1+CC1+DD1≥
          16R
          3

          故答案為：AA1+BB1+CC1+DD1≥
          16R
          3
          ．
          點評：本題考查兩邊推理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查計算能力，屬于中檔題．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          給出下列五個命題：
          ①長度相等，方向不同的向量叫做相反向量；
          ②設(shè)
          b
          ，
          c
          是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，則對于平面內(nèi)的任意一個向量
          a
          ，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使
          a
          =λ1
          b
          +λ2
          c
          ；
          ③
          a
          ∥
          b
          的充要條件是存在唯一的實數(shù)λ使
          b
          =λ
          a
          ；
          ④（
          a
          •
          b
          ）
          c
          =
          a
          （
          b
          •
          c
          ）；
          ⑤λ（
          a
          +
          b
          ）•
          c
          =λ
          a
          •
          c
          +λ
          b
          •
          c
          ．
          其中正確命題的個數(shù)是                                （　�。�
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：湖北省荊州市2012屆高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查(Ⅱ)數(shù)學(xué)理科試題
				題型：022
			
          

						
          

          對于平面內(nèi)的命題：“△ABC內(nèi)接于圓⊙O，圓O的半徑為R，且O點在△ABC內(nèi)，連結(jié)AO，BO，CO并延長分別交對邊于A1，B1，C1，則AA1＋BB1＋CC1≥”
          

          證明如下：
          

          即：，即
          

          由柯西不等式，得
          

          ∴AA1＋BB1＋CC1≥
          

          將平面問題推廣到空間，就得到命題“四面體ABCD內(nèi)接于半徑為R的球O內(nèi)，球心O在該四面體內(nèi)，連結(jié)AO，BO，CO，DO并延長分別與對面交于A1，B1，C1，D1，則________”
          

          

          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：填空題
			
          

						
          對于平面內(nèi)的命題：“△ABC內(nèi)接于圓O，圓O的半徑為R，且O點在△ABC內(nèi)，連接AO，BO，CO并延長分別交對邊于A1，B1，C1，則數(shù)學(xué)公式”．
          證明如下：數(shù)學(xué)公式，
          即：數(shù)學(xué)公式，即數(shù)學(xué)公式，
          由柯西不等式，得數(shù)學(xué)公式．∴數(shù)學(xué)公式．
          將平面問題推廣到空間，就得到命題“四面體ABCD內(nèi)接于半徑為R的球O內(nèi)，球心O在該四面體內(nèi)，連接AO，BO，CO，DO并延長分別與對面交于A1，B1，C1，D1，則________”．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：2011-2012學(xué)年福建省福州三中高三（下）第五次月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          對于平面內(nèi)的命題：“△ABC內(nèi)接于圓O，圓O的半徑為R，且O點在△ABC內(nèi)，連接AO，BO，CO并延長分別交對邊于A1，B1，C1，則”．
          證明如下：，
          即：，即，
          由柯西不等式，得．∴．
          將平面問題推廣到空間，就得到命題“四面體ABCD內(nèi)接于半徑為R的球O內(nèi)，球心O在該四面體內(nèi)，連接AO，BO，CO，DO并延長分別與對面交于A1，B1，C1，D1，則    ”．
          

			
          

			
          
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