Question

有一個(gè)湖泊受污染，其湖水的容量為V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量．現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)平衡，且污染物和湖水均勻混合．用g(t)=

p

r

+[g(0)-

p

r

]e-

r

v

t(p≥0)，表示某一時(shí)刻一立方米湖水中所含污染物的克數(shù)（我們稱其湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)），g（0）表示湖水污染初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)．
（1）當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時(shí)，求湖水污染初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)；
（2）分析g(0)＜

p

r

時(shí)，湖水的污染程度如何．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為一個(gè)常數(shù)，可以設(shè)0≤t₁＜t₂，必有g(shù)（t₁）=g（t₂），因式分解得關(guān)于g（0）的方程，解這個(gè)方程可得g(0)=

p

r

；
（2）設(shè)0＜t₁＜t₂，利用作差將所得式子因式分解，再根據(jù)已知條件討論這個(gè)差的正負(fù)，可得g（t₁）＜g（t₂），可得函數(shù)為增函數(shù)，所以隨著時(shí)間的推移，湖水污染越來(lái)越嚴(yán)重．

解答：解：（1）設(shè)0≤t₁＜t₂，
因?yàn)間（t）為常數(shù)，g（t₁）=g（t₂），即[g(0)-

p

r

][e-

r

v

t1-e-

r

v

t2]=0，則g(0)=

p

r

；
（2）設(shè)0＜t₁＜t₂，g（t₁）-g（t₂）=[g(0)-

p

r

][e-

r

v

t1-e-

r

v

t2]
=[g(0)-

p

r

]•

e r v t2-e r v t1

e r v t1+t2

因?yàn)?span id="4nx49gn" class="MathJye">g(0)-

p

r

＜0，0＜t₁＜t₂，g（t₁）＜g（t₂）．
故隨著時(shí)間的推移，湖水污染越來(lái)越嚴(yán)重．

點(diǎn)評(píng)：本題考查含有字母參數(shù)函數(shù)的性質(zhì)研究，屬于中檔題．在求值和討論單調(diào)性時(shí)，應(yīng)該注意因式分解技巧的應(yīng)用．