Question

下表提供了某廠節(jié)油降耗技術(shù)發(fā)行后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)．

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）求線性回歸方程所表示的直線必經(jīng)過的點(diǎn)；
（2）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程．并預(yù)測生產(chǎn)1000噸甲產(chǎn)品生產(chǎn)能耗多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？（參考：

b

=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 x 2 i -n . x 2

，

a

=

.

y

-

b

.

x

）

Answer 1

分析：（1）線性回歸方程所表示的直線必經(jīng)過數(shù)據(jù)樣本中心點(diǎn)（

.

X

，

.

y

），由已知中數(shù)據(jù)代入平均數(shù)公式，可得答案．
（2）根據(jù)（1）中x，y的平均數(shù)，利用最小二乘法做出線性回歸直線的方程的系數(shù)，寫出回歸直線的方程，得到結(jié)果．

解答：解：（1）

.

X

=4.5，

.

Y

=3.5，
由線性回歸方程所表示的直線必經(jīng)過數(shù)據(jù)樣本中心點(diǎn)
可得線性回歸方程所表示的直線（4.5，3.5）…（3分）
（2）∵

4

i=1

XiYi=66.5

4

i=1

X

2 i

=32+42+52+62=86，
又   

.

X

=4.5，

.

Y

=3.5
所以

?

b

=

66.5-4×4.5×3.5

86-4×4.52

=

66.5-63

86-81

=0.7； 
 

?

a

=

.

Y

-

?

b

.

X

=3.5-0.7×4.5=0.35
所求的回歸方程為：y=0.7x+0.35…（9分）
當(dāng)x=1000，y=1000×0.7+0.35=700.35噸，
預(yù)測生產(chǎn)1000噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗700.35噸．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線性回歸方程的求法，考查最小二乘法，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題時(shí)運(yùn)算量比較大，注意利用公式求系數(shù)時(shí)，不要在運(yùn)算上出錯(cuò)．