Question

(1)求與橢圓共焦點(diǎn)且過點(diǎn)(3,)的雙曲線的方程;

(2)已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,并且雙曲線上兩點(diǎn)P₁、P₂的坐標(biāo)分別為(3,-4)、(,5),求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

Answer 1

分析：

第(1)題由橢圓的方程確定焦點(diǎn)坐標(biāo),可求得c值,設(shè)雙曲線方程為(a＞0,b＞0),用待定系數(shù)法,求得a、b;第(2)題可先設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程,然后把P₁、P₂點(diǎn)坐標(biāo)代入方程,聯(lián)立方程組,求a²、b²的值.

解：(1)橢圓的焦點(diǎn)為(2,0),(-2,0),

設(shè)雙曲線的方程為,則a²+b²=20.

又∵過點(diǎn)(3,),

∴

綜上,得a²=20-2,b²=2,

∴雙曲線方程為

(2)∵雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,

∴設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a＞0,b＞0),                ①

∵點(diǎn)P₁、P₂在雙曲線上,

∴點(diǎn)P₁、P₂的坐標(biāo)適合方程①.

將(3,-4),(,5)分別代入方程①中,得方程組

將看作整體,解得

∴即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

綠色通道：本題只要解得a²、b²即可得到雙曲線的方程,不必求出a、b的值;在求解的過程中也可以用換元思想.