Question

【題目】已知圓C過點，且與圓M：關(guān)于直線對稱．

求圓C的方程；

過點P作兩條相異直線分別與圓C相交于點A和點B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ)，O為坐標(biāo)原點，試判斷直線OP和AB是否平行？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）直線AB和OP一定平行．證明見解析

【解析】

由已知中圓C過點，且圓M：關(guān)于直線對稱，可以求出圓心坐標(biāo)，即可求出圓C的方程；

由已知可得直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，設(shè)PA：，PB：，求出A，B坐標(biāo)后，代入斜率公式，判斷直線OP和AB斜率是否相等，即可得到答案．

由題意可得點C和點關(guān)于直線對稱，

且圓C和圓M的半徑相等，都等于r．

設(shè)，由且，解得：，．

故原C的方程為．

再把點代入圓C的方程，求得．

故圓的方程為：；

證明：過點P作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B，

且直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ)，O為坐標(biāo)原點，

則得直線OP和AB平行，

理由如下：由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，

故可設(shè)PA：，PB：．

由，得，

因為的橫坐標(biāo)一定是該方程的解，，

同理可得．

由于AB的斜率的斜率，

所以直線AB和OP一定平行．