Question

如圖，橢圓E：

x2

5

+y2=1，經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，斜率的k₁的（k₁≠0）的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．
（I）當(dāng)k₁=1時(shí)，求|AB|；
（II）給點(diǎn)R（1，0），延長(zhǎng)AR，BR分別與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，設(shè)直線CD的斜率為k₂，證明：

k1

k2

為定值，并求出定值．

Answer 1

分析：（I）直線l的方程為y=x+2代入橢圓方程，利用弦長(zhǎng)公式，即可得到結(jié)論；
（II）設(shè)出AR，BR的方程，求出C，D的坐標(biāo)，求出斜率，即可得到結(jié)論．

解答：（I）解：直線l的方程為y=x+2代入橢圓方程

x2

5

+y2=1，得6x²+20x+15=0
∴|AB|=

(1+1)[(- 20 6 )2-4× 15 6 ]

=

2 5

3

（II）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則l_AR：y=

y1

x1-1

(x-1)；l_BR：y=

y2

x2-1

(x-1)
由

y= y1 x1-1 (x-1) x2 5 +y2=1

得x2+

5y12

(x1-1)2

×(x-1)2=5
∴（6-2x₁）x²-10y12x+（10x1-6x12）=0
x₁=0時(shí)，x_C=

5

3

；x₁≠0時(shí)，x₁x_C=

10x1-6x12

6-2x1

，∴x_C=

3x1-5

x1-3

∴C（

3x1-5

x1-3

，

2y1

x1-3

）
同理D（

3x2-5

x2-3

，

2y2

x2-3

）
∵y₁=k₁（x₁+2），y₂=k₁（x₂+2），
∴k₂=

2y2 x2-3 - 2y1 x1-3

3x2-5 x2-3 - 3x1-5 x1-3

=

2y2(x1-3)-2y1(x2-3)

(3x2-5)(x1-3)-(3x1-5)(x2-3)

=

10k1(x1-x2)

4(x1-x2)

=

5k1

2

，
∴

k1

k2

=

2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，屬于中檔題．