Question

定義在(-1，1)上的函數(shù)f(x)滿足:

①對任意x、y∈(-1,1)，都有f(x)+f(y)= .?

②當x∈(-1，0)時，有f(x)＞0.

(1)求證:函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；

(2)判斷f(x)在(-1，1)上的單調(diào)性，并加以證明；

(3)設(shè)-1＜a＜1，試求不等式f(a)+f()＞0的解.

Answer 1

(1)證明:令x=y=0，得2f(0)=f(0),∴f(0)=0.?

令y=x，得f(-x)+f(x)=f(0)=0.?

∴f(x)在(-1，1)上是奇函數(shù).

(2)證明:設(shè)-1＜x₁＜x₂＜0，則?

f(x₁)-f(x₂)=f(x₁)+f(-x₂)=.?

∵-1＜x₁＜x₂＜0,∴0＜x₁x₂＜1.?

∴.?

∴-1＜＜0.∴f(x₁)-f(x₂)＞0.?

∴f(x)在(-1，0)上是單調(diào)減函數(shù).?

又∵f(x)在(-1，1)上是奇函數(shù)，?

∴f(x)在(-1，1)上是單調(diào)減函數(shù).

(3)解析:由-1＜ ＜1可得||＜1,得|x-1|＞1,?

∴x＞2或x＜0.?

∵f(a)+f()＞0,∴f()＞f(-a).?

∴＜-a.?

①當a=0時，x＞1;?

②當-1＜a＜0時，x＜1+或x＞1；?

③當0＜a＜1時，1＜x＜1+.?

綜上,可知①a=0時，x＞2;②-1＜a＜0時，x＜1+或x＞2;③0＜a＜1時，2＜x＜1+.