Question

如圖，點(diǎn)F（a，0）（a＞0），點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M在x軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N為動(dòng)點(diǎn)，且．
（1）求點(diǎn)N的軌跡C；
（2）過(guò)點(diǎn)F（a，0）的直線l（不與x軸垂直）與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)K（-a，0），的夾角為θ，求證．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)點(diǎn)N（x，y），然后可以得到向量、，進(jìn)而根據(jù)、可得答案．
（2）先設(shè)出直線方程，然后和（1）中所求的軌跡方程聯(lián)立得到兩根之和與兩根之積，進(jìn)而由得到答案．
解答：解：（1）設(shè)N（x，y）∵
∴M（-x，0），P（0，）=（-X，-），=（a，-）
∵∴=-ax+=0
∴y²=4ax

（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴直線l：y=k（x-a）=（x₁+a，y₁）=（x₂+a，y₂）
聯(lián)立∴ky²-4ay-4ka²=0
∴，y₁y₂=-4a²，x₁x₂=a²，
∴=（x₁+a）（x₂+a）+y₁y₂=x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²+y₁y₂
=2a²+-4a²=-2a²=2=＞0
∴cosθ＞0∵θ∈[0，π]∴θ∈（0，）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算和圓錐曲線的有關(guān)問題．在解決圓錐曲線的有關(guān)問題時(shí)，一般都是聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程求出兩根之和與兩根之積，然后 根據(jù)題意解題．