Question

f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，若f(1-x)=f(1+x)，且當(dāng)x∈(-∞，1)時(shí)，有(x-1)f′(x)＜0

，設(shè)a=f(0)，b=f(

1

2

)，c=f（3），則（　　）

A．a(chǎn)＜b＜c

B．c＜b＜a

C．c＜a＜b

D．b＜c＜a

Answer 1

分析：根據(jù)當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，有（x-1）f^′（x）＜0，推出在x∈（-∞，1）時(shí)，f^′（x）＞0，從而得到函數(shù)f（x）在x∈（-∞，1）時(shí)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)滿足f（1-x）=f（1+x）得到函數(shù)的對(duì)稱軸，根據(jù)x的取值離對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近可以求得a、b、c的大小．

解答：解：因?yàn)楫?dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，有（x-1）f^′（x）＜0，
由x∈（-∞，1），∴x-1＜0，所以f^′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（-∞，1）上為增函數(shù)，
又函數(shù)滿足f（1-x）=f（1+x），所以f（3）=f（-1），
∵-1＜0＜

1

2

＜1，∴f(

1

2

)＞f(0)＞f（-1），
所以f(

1

2

)＞f(0)＞f(3)，即b＞a＞c．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查了函數(shù)單調(diào)性，考查了函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與原函數(shù)增減性的關(guān)系，此題是中檔題．