Question

已知向量，向量是與向量夾角為的單位向量．
（1）求向量；
（2）若向量與向量平行，與向量垂直，求t=y²+5x+4的最大值．

Answer 1

解：（1）設(shè)=（x，y），
∵向量是單位向量，
∴x²+y²=1．
∵向量與向量夾角為，
∴cos=，
∴，
解方程組，
得x=0，y=1，或x=，y=-．
∴=（0，1），或=．
（2）∵=（0，1）和向量不平行，
∴向量=，
向量與向量平行，與向量垂直，
∴，
∴3x²-x+y²=0．
t=y²+5x+4
=（-3x²+x）+5x+4
=-3x²+6x+4，
因?yàn)?3x²+x＞0
所以0＜x＜，
所以當(dāng)x=時(shí)，t=-3x²+6x+4取最大值t_max=．
分析：（1）設(shè)=（x，y），向量是單位向量，向量與向量夾角為，解方程組，能求出=（0，1），或=．
（2）由=（0，1）和向量不平行，知向量=，由向量與向量平行，與向量垂直，得到3x²-x+y²=0．所以t=y²+5x+4=-3x²+6x+4，再由導(dǎo)數(shù)求t的最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)量積的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)的靈活運(yùn)用．