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        2. 


          
	
          
		
	
          
	
          
		
          
			
		
          
		
          
	
          

          



          

          

          


          


          
	
          
			
          

			
          
				根據(jù)向量數(shù)乘的定義，可以證明向量數(shù)乘有如下運(yùn)算律：
          （1）
           
          ；（2）
           
          ；（3）
           
          ．			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：證明等式成立，把兩邊看成兩個(gè)向量，先證模相等，再證明方向也相同．
          解答：解：（1）λ（μ 
          a
          ）=（λμ） 
          a
          ，（2）（λ+μ） 
          a
          =λ
          a
          +μ
          a
          ，（3）λ （
          a
          +
          b
          ）=λ
          a
          +μ
          b
          ．
          證明：（1）若λ=0 或μ=0，或
          a
          =
          0
          ，等式顯然成立．若λμ≠0，
          a
          ≠
          0
          ，
          |λ（μ 
          a
          ）|=|λ||μ
          a
          |=|λ||μ||
          a
          |，|（λμ） 
          a
          |=|λμ||
          a
          |=|λ||μ||
          a
          |，
          即|λ（μ 
          a
          ）|=|（λμ） 
          a
          |．若λ、μ同號(hào)，則等式兩邊都與
          a
          同向，若λ、μ異號(hào)，則等式兩邊都與
          a
          反向，
          故 λ（μ 
          a
          ）與（λμ）
          a
          的模相同，方向相同，故這兩個(gè)向量相等．
          （2）若λ=0 或μ=0，或
          a
          =
          0
          ，等式顯然成立．若λμ≠0，
          a
          ≠
          0
          ，若λ和μ同號(hào)，
          |（λ+μ） 
          a
          |=|λ+μ||
          a
          |=（|λ|+|μ|）|
          a
          |，|λ
          a
          +μ
          a
          |=|λ
          a
          |+|μ
          a
          |=（|λ|+|μ|）|
          a
          |，
          即|（λ+μ） 
          a
          |=|λ
          a
          +μ
          a
          |，等式兩邊都與
          a
          同向，或都與
          a
          反向，故等式成立．
          若λ和μ異號(hào)，當(dāng)λ＞μ時(shí)，等式兩邊都與λ 
          a
          同向，當(dāng)λ＜μ時(shí)，等式兩邊都與λ 
          a
          反向，
          還可證明|（λ+μ） 
          a
          |=|λ
          a
          +μ
          a
          |，故等式一定成立．
          （3）當(dāng) 
          a
          ，
          b
          中有一個(gè)等于零時(shí)，或λ=0或1時(shí)，等式顯然成立．
          當(dāng)
          a
          ，
          b
          都不等于0且λ≠1，λ≠0，
          當(dāng)λ＞0且λ≠1時(shí)，如圖所示，設(shè) 
          OA
          =
          a
          ，
          AB
          =
          b
          ，
          OA1
          =λ 
          a
          ，
          A1B1
          =λ
          b
          ，
          則
          OB
          =
          a
          +
          b
          ，
          OB1
          =λ
          a
          +λ
          b
          ，由作法知  
          AB
          ∥
          A1B1
          ，∴|
          A1B1
          |=λ|
          AB
          |，
          ∴|
          OB1
          |=λ|
          OB
          |，且 
          OB1
           與
          OB
          方向也相同，故有
          OB1
          =λ 
          OB
          ，λ （
          a
          +
          b
          ）=λ
          a
          +μ
          b
           成立．
          當(dāng)λ＜0時(shí)，同理可證．
          綜上，λ （
          a
          +
          b
          ）=λ
          a
          +μ
          b
           成立．
          故答案為 λ（μ 
          a
          ）=（λμ） 
          a
          、（λ+μ） 
          a
          =λ
          a
          +μ
          a
          、λ （
          a
          +
          b
          ）=λ
          a
          +μ
          b
          ．
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          點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)乘的定義及幾何意義，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊(cè)系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			
          

						
          出于應(yīng)用方便和數(shù)學(xué)交流的需要，我們教材定義向量的坐標(biāo)如下：取
          e1
          和
          e2
          為直角坐標(biāo)第xOy中與x軸和y軸正方向相同的單位向量，根據(jù)平面向量基本定理，對(duì)于該平面上的任意一個(gè)向量
          a
          ，則存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)λ，μ，使得
          a
          =λ
          e1
          +μ
          e2
          ，我們就把實(shí)數(shù)對(duì)（λ，μ）稱作向量
          a
          的坐標(biāo)．并依據(jù)這樣的定義研究了向量加法、減法、數(shù)乘向量及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式．現(xiàn)在我們用
          i
          和
          j
          表示斜坐標(biāo)系x‘Oy’中與x‘軸和y軸正方向相同的單位向量，其中＜
          i
          ，
          j
          ＞=
          π
          3
          ，
          （1）請(qǐng)你模仿直角坐標(biāo)系xOy中向量坐標(biāo)的定義方式，用向量
          i
          和
          j
          做基底向量定義斜坐標(biāo)系x‘Oy’平面上的任意一個(gè)向量
          a
          的坐標(biāo)；
          （2）在（1）的基礎(chǔ)上研究斜坐標(biāo)系x‘Oy’中向量的加法、減法、數(shù)乘向量及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：解答題
			
          

						
          出于應(yīng)用方便和數(shù)學(xué)交流的需要，我們教材定義向量的坐標(biāo)如下：取數(shù)學(xué)公式和數(shù)學(xué)公式為直角坐標(biāo)第xOy中與x軸和y軸正方向相同的單位向量，根據(jù)平面向量基本定理，對(duì)于該平面上的任意一個(gè)向量數(shù)學(xué)公式，則存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)λ，μ，使得數(shù)學(xué)公式=數(shù)學(xué)公式+μ數(shù)學(xué)公式，我們就把實(shí)數(shù)對(duì)（λ，μ）稱作向量數(shù)學(xué)公式的坐標(biāo)．并依據(jù)這樣的定義研究了向量加法、減法、數(shù)乘向量及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式．現(xiàn)在我們用數(shù)學(xué)公式和數(shù)學(xué)公式表示斜坐標(biāo)系x‘Oy’中與x‘軸和y軸正方向相同的單位向量，其中＜數(shù)學(xué)公式，數(shù)學(xué)公式＞=數(shù)學(xué)公式，
          （1）請(qǐng)你模仿直角坐標(biāo)系xOy中向量坐標(biāo)的定義方式，用向量數(shù)學(xué)公式和數(shù)學(xué)公式做基底向量定義斜坐標(biāo)系x‘Oy’平面上的任意一個(gè)向量數(shù)學(xué)公式的坐標(biāo)；
          （2）在（1）的基礎(chǔ)上研究斜坐標(biāo)系x‘Oy’中向量的加法、減法、數(shù)乘向量及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          出于應(yīng)用方便和數(shù)學(xué)交流的需要，我們教材定義向量的坐標(biāo)如下：取
          e1
          和
          e2
          為直角坐標(biāo)第xOy中與x軸和y軸正方向相同的單位向量，根據(jù)平面向量基本定理，對(duì)于該平面上的任意一個(gè)向量
          a
          ，則存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)λ，μ，使得
          a
          =λ
          e1
          +μ
          e2
          ，我們就把實(shí)數(shù)對(duì)（λ，μ）稱作向量
          a
          的坐標(biāo)．并依據(jù)這樣的定義研究了向量加法、減法、數(shù)乘向量及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式．現(xiàn)在我們用
          i
          和
          j
          表示斜坐標(biāo)系x‘Oy’中與x‘軸和y軸正方向相同的單位向量，其中＜
          i
          ，
          j
          ＞=
          π
          3
          ，
          （1）請(qǐng)你模仿直角坐標(biāo)系xOy中向量坐標(biāo)的定義方式，用向量
          i
          和
          j
          做基底向量定義斜坐標(biāo)系x‘Oy’平面上的任意一個(gè)向量
          a
          的坐標(biāo)；
          （2）在（1）的基礎(chǔ)上研究斜坐標(biāo)系x‘Oy’中向量的加法、減法、數(shù)乘向量及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：2009-2010學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)二中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（必修4）（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          出于應(yīng)用方便和數(shù)學(xué)交流的需要，我們教材定義向量的坐標(biāo)如下：取和為直角坐標(biāo)第xOy中與x軸和y軸正方向相同的單位向量，根據(jù)平面向量基本定理，對(duì)于該平面上的任意一個(gè)向量，則存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)λ，μ，使得=+μ，我們就把實(shí)數(shù)對(duì)（λ，μ）稱作向量的坐標(biāo)．并依據(jù)這樣的定義研究了向量加法、減法、數(shù)乘向量及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式．現(xiàn)在我們用和表示斜坐標(biāo)系x‘Oy’中與x‘軸和y軸正方向相同的單位向量，其中＜，＞=，
          （1）請(qǐng)你模仿直角坐標(biāo)系xOy中向量坐標(biāo)的定義方式，用向量和做基底向量定義斜坐標(biāo)系x‘Oy’平面上的任意一個(gè)向量的坐標(biāo)；
          （2）在（1）的基礎(chǔ)上研究斜坐標(biāo)系x‘Oy’中向量的加法、減法、數(shù)乘向量及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式．
          

			
          

			
          
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