Question

已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，離心率為且過(guò)點(diǎn)（4，）.

（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線x=3與雙曲線交于M、N兩點(diǎn)，求證：F₁M⊥F₂M.

Answer 1

（1）解：由雙曲線的離心率為,即=,則,

∴a=b,即雙曲線為等軸雙曲線.

可設(shè)其方程為x²-y²=λ(λ≠0).

由于雙曲線過(guò)點(diǎn)(4,),

則4²-()²=λ.

∴λ=6.∴雙曲線方程為.

(2)證明：由(1)可得F₁,F₂的坐標(biāo)分別為(,0),(,0),M,N的坐標(biāo)分別為(3,),

(3,).

∴=,=.

故·=·.

∴F₁M⊥F₂M.

點(diǎn)評(píng):(1)離心率給定的問(wèn)題應(yīng)先研究a,b的關(guān)系,簡(jiǎn)化設(shè)方程的字母?jìng)�(gè)數(shù).

(2)λ≠0時(shí),方程x²-y²=λ,既可表示焦點(diǎn)在x軸上也可表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線.