Question

如圖，在多面體ABCDE中，AE⊥面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F為CD中點．
（1）求證：EF∥平面ABC；（2）求證：EF⊥平面BCD．

Answer 1

分析：（1）取BC中點O，連接OF，可證四邊形EAOF是平行四邊形，再利用直線與平面平行的判定定理進行證明，即可解決問題；
（2）連接BF，由EF²+BF²=BE²得到BF⊥EF，又EF⊥CD，則線面垂直的判斷定理證明．

解答：解：：（1）證明：取BC中點O，連接OF
∵F是CD中點，O為CB中點，∴OF∥DB且OF=

1

2

DB，
又BD∥AE且AE=

1

2

BD
∴OF∥AE，OF=AE
∴四邊形EAOF是平行四邊形
∴OA∥FE
又∵OA?平面ABC，EF?平面ABC
∴EF∥平面ABC．
（2）連接BF，∵AE=1，則AB=BC=AC=BD=2，
于是 CE=ED=

5

，CD=2

2

，
所以 EF=

3

，BF=

2

，BE=

5

所以BF⊥EF，又EF⊥CD，又BF，CD為兩條相交直線
故EF⊥平面BCD

點評：考查空間想象能力、邏輯思維能力、運算求解能力和探究能力，同時考查學生靈活利用圖形，借助向量工具解決問題的能力，考查數形結合思想．是中檔題．