Question

在平面直角坐標系中,已知點和,圓是以為圓心,半徑為的圓,點是圓上任意一點，線段的垂直平分線和半徑所在的直線交于點.

（Ⅰ）當(dāng)點在圓上運動時，求點的軌跡方程；

（Ⅱ）已知，是曲線上的兩點，若曲線上存在點，滿足（為坐標原點），求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）;（Ⅱ）;

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)提議可知，點在線段的垂直平分線上，則，又，則，設(shè)，可得點的軌跡方程為.

（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過點的直線為，由題意可知的斜率存在，設(shè)直線的方程為，將其代入橢圓方程整理可得，設(shè)，則，故；對進行討論（1）當(dāng)時，點關(guān)于原點對稱，則；（2）當(dāng)時，點不關(guān)于原點對稱，則

由，得，故則，因為在橢圓上，故

化簡，得，又，故得 ①

又，得 ②

聯(lián)立①②兩式及，得，故且綜上得實數(shù)的取值范圍是.

試題解析：（Ⅰ）點在線段的垂直平分線上，則，又，

則，故可得點的軌跡方程為.

（Ⅱ）令經(jīng)過點的直線為，則的斜率存在，設(shè)直線的方程為，

將其代入橢圓方程整理可得

設(shè)，則，故

（1）當(dāng)時，點關(guān)于原點對稱，則

（2）當(dāng)時，點不關(guān)于原點對稱，則

由，得，故

則，因為在橢圓上，故

化簡，得，又，故得 ①

又，得 ②

聯(lián)立①②兩式及，得，故且

綜上（1）（2）兩種情況，得實數(shù)的取值范圍是.

考點：1.橢圓的方程；2.直線與橢圓的位置關(guān)系.