Question

若曲線(xiàn)f（x，y）=0（或y=f（x））在其上兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線(xiàn)重合，則稱(chēng)這條切線(xiàn)為曲線(xiàn)f（x，y）=0（或y=f（x））的自公切線(xiàn)，下列方程的曲線(xiàn)存在自公切線(xiàn)的序號(hào)為

 

（寫(xiě)出所有滿(mǎn)足題意的序號(hào)）
①y=3sinx+4cosx      
②x²-y²=1  
③y=x²-|x|
④|x|+1=

4-y2

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程

專(zhuān)題：計(jì)算題,新定義

分析：①此函數(shù)是周期函數(shù)，過(guò)圖象的最高點(diǎn)的切線(xiàn)都重合或過(guò)圖象的最低點(diǎn)的切線(xiàn)都重合，故此函數(shù)有自公切線(xiàn)；
②x²-y²=1 是一個(gè)等軸雙曲線(xiàn)，沒(méi)有自公切線(xiàn)；
③去絕對(duì)值，配方，求出在x=±

1

2

處的切線(xiàn)，即可判斷；
④先變形，再結(jié)合圖象可得，此曲線(xiàn)沒(méi)有自公切線(xiàn)．

解答： 解：①y=3sinx+4cosx=5sin（x+∅），cos∅=

3

5

，sin∅=

4

5

，此函數(shù)是周期函數(shù)，過(guò)圖象的最高（或低）點(diǎn)的切線(xiàn)都重合，故此函數(shù)有自公切線(xiàn)；
 ②x²-y²=1 是一個(gè)等軸雙曲線(xiàn)，沒(méi)有自公切線(xiàn)；
③y=x²-|x|=

(x- 1 2 )2- 1 4 ，x≥0 (x+ 1 2 )2- 1 4 ，x＜0

在 x=

1

2

處和 x=--

1

2

處的切線(xiàn)都是y=-

1

4

，
故③有自公切線(xiàn)；
④|x|+1=

4-y2

即x²+2|x|+y²-3=0，結(jié)合圖象可得，此函數(shù)沒(méi)有自公切線(xiàn)．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的自公切線(xiàn)的定義，函數(shù)圖象的特征，準(zhǔn)確判斷一個(gè)函數(shù)是否有自公切線(xiàn)，是解題的難點(diǎn)．