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        1. 三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱與底面垂直,∠ABC=90°,AB=BC=BB1=2,M,N分別是AB,A1C的中點(diǎn).
          (1)求直線MN與平面A1B1C所成的角;
          (2)在線段AC上是否存在一點(diǎn)E,使得二面角E-B1A1-C的余弦值為
          3
          10
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          ?若存在,求出AE的長,若不存在,請說明理由.
          分析:(1)分別B1A1、B1C1、B1B為x、y、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系B1-xyz,如圖所示.算出B1、C、A1、B的坐標(biāo),從而得到M、A、C、N各點(diǎn)的坐標(biāo),得
          B1C
          、
          MN
          、
          B1A1
          的坐標(biāo),進(jìn)而算出
          NM
          B1C
          =0
          NM
          B1A1
          =0
          ,利用線面垂直的判定定理得到MN⊥平面A1B1C,即MN與平面A1B1C所成的角為90°;
          (2)設(shè)E(x,y,z)且
          AE
          AC
          ,可得
          B1E
          =(2-2λ,2λ,2),利用垂直向量數(shù)量積為零的方法算出平面A1B1E的一個(gè)法向量為
          α
          =(0,-
          1
          λ
          ,1).平面A1B1C的法向量為
          MN
          =(0,1,-1),由二面角E-B1A1-C的余弦值為
          3
          10
          10
          利用空間向量的夾角公式,建立關(guān)于λ的方程解出λ=
          1
          2
          得到AE=
          2
          ,從而得出存在滿足條件的點(diǎn)E.
          解答:解:(1)分別B1A1、B1C1、B1B為x、y、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系B1-xyz,如圖所示
          可得B1(0,0,0),C(0,2,2),A1(2,0,0),B(0,0,2),
          則M(1,0,2),A(2,0,2),C(0,2,2),N(1,1,1)------------(2分)
          B1C
          =(0,2,2),
          MN
          =(0,1,-1),
          B1A1
          =(2,0,0)
          NM
          B1C
          =0
          ,且
          NM
          B1A1
          =0
          ,--------(4分)
          ∴MN⊥B1C,MN⊥B1A1
          結(jié)合B1C∩B1A1=B1,可得MN⊥平面A1B1C
          即MN與平面A1B1C所成的角為90°.-----------------(5分)
          (2)設(shè)E(x,y,z),且
          AE
          AC
          ,--------------(6分)
          則(x-2,y,z-2)=λ(-2,2,0)
          解之得x=2-2λ,y=2λ,z=2,
          B1E
          =(2-2λ,2λ,2)-------(7分)
          由(1)可知:平面A1B1C的法向量為
          MN
          =(0,1,-1),
          設(shè)平面A1B1E的法向量為
          α
          =(m,n,p)
          ,
          α
          A1B1
          =0且
          α
          B1E
          =0
          ,
          則可解得
          α
          =(0,-
          1
          λ
          ,1),----------------(9分)
          |-
          1
          λ
          -1|
          1
          λ2
          +1
          2
          =
          3
          10
          10
          ,可得2λ2-5λ+2=0,解之得λ=
          1
          2
          或2-------(11分)
          由于點(diǎn)E在線段上,所以λ=
          1
          2
          ,此時(shí)AE=
          2

          即在線段AC上存在一點(diǎn)E,當(dāng)AE的長為
          2
          時(shí),二面角E-B1A1-C的余弦值為
          3
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          10
          .---------(12分)
          點(diǎn)評:本題利用空間坐標(biāo)系,證明了直線與平面所成角并探索二面角的大小問題.著重考查了線面垂直的判定定理和利用空間向量研究二面大小等知識點(diǎn),屬于中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B是邊長為2的正方形,點(diǎn)C在平面AA1B1B上的射影H恰好為A1B的中點(diǎn),且CH=
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          ,設(shè)D為CC1中點(diǎn),
          (Ⅰ)求證:CC1⊥平面A1B1D;
          (Ⅱ)求DH與平面AA1C1C所成角的正弦值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)
          如圖(1)是一個(gè)水平放置的正三棱柱ABC-A1B1C1,D是棱BC的中點(diǎn).正三棱柱的主視圖如圖(2).
          (Ⅰ) 圖(1)中垂直于平面BCC1B1的平面有哪幾個(gè)?(直接寫出符合要求的平面即可,不必說明或證明)
          (Ⅱ)求正三棱柱ABC-A1B1C1的體積;
          (Ⅲ)證明:A1B∥平面ADC1

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1=
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          ,M是棱CC1的中點(diǎn),
          (1)求證:A1B⊥AM;
          (2)求直線AM與平面AA1B1B所成角的正弦值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=A1A,AC=BC,點(diǎn)D、E分別為C1C、AB的中點(diǎn),O為A1B與AB1的交點(diǎn).
          (Ⅰ)求證:EC∥平面A1BD;
          (Ⅱ)求證:AB1⊥平面A1BD.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)2010屆高三第一次聯(lián)考 題型:解答題

           

                  如圖所示,在正三棱柱ABC—A11C1中,BB1=BC=2,且M是BC的中點(diǎn),點(diǎn)N在CC1上。

           
             (1)試確定點(diǎn)N的位置,使AB1⊥MN;

             (2)當(dāng)AB1⊥MN時(shí),求二面角M—AB1—N的大小。

           

           

           

           

           

           

           

           

           

           

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          同步練習(xí)冊答案