Question

（本題滿分12分）已知函數(shù)，．
（1）求函數(shù)的單調區(qū)間和極值；
（2）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱；
證明：當時，
（3）如果且，證明

Answer 1

（Ⅰ）在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)．
函數(shù)在處取得極大值．且．
（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析。

本試題主要是考查了運用導數(shù)研究函數(shù)的性質的綜合運用。
（1）利用導數(shù)，結合導數(shù)的符號與函數(shù)單調性的關系得到第一問中的單調區(qū)間和極值問題。
（2）先利用對稱性求解函數(shù)的解析式，然后構造函數(shù)證明不等式恒成立，或者利用第一問的結論，結合對稱性得到證明。
（3）由上可知函數(shù)的的單調性，結合性質可知不等式的證明。
（Ⅰ）．令，則．
當變化時，的變化情況如下表：

	增	極大值	減

所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)．
函數(shù)在處取得極大值．且．
（Ⅱ）因為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，
所以，于是．
記，則，，
當時，，從而，又，所以，
于是函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)．
因為，所以，當時，．因此．
（Ⅲ）(1) 若，由（Ⅰ）及,得,與矛盾；
(2) 若，由（Ⅰ）及,得,與矛盾；
根據(jù)(1)，(2)可得．不妨設．
由（Ⅱ）可知，所以．
因為，所以，又，由（Ⅰ），在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，
所以　，即．