Question

如圖，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點(diǎn)．
（1）求證：EF⊥平面PAB；
（2）求異面直線EG與BD所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：解法一：（1）由題意可證明AD⊥面PAB，E、F分別是線段PA、PD的中點(diǎn)，EF∥AD，從而得證；
（2）取BC的中點(diǎn)M，取DC的中點(diǎn)G，連接GM、AM、EM，則GM∥BD，∠EGM（或其補(bǔ)角）就是異面直線EG與BD所成的角．
分別求得EM、EG、MG的長度，再利用余弦定理即可求得異面直線EG與BD所成的角的余弦值．
解法二：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
P（0，0，2），E（0，0，1），F(xiàn)（0，1，1），G（1，2，0）．
求得

EF

=（0，1，0），

AP

=（0，0，2），

AB

=（2，0，0），
利用

EF

•

AP

=0，

EF

•

AB

=0，可證得EF⊥AP，EF⊥AB，從而可證平面EFG⊥平面PAB．
（2）求得

EG

=(1，2，-1)，

BD

=(-2，2，0)，利用向量的夾角公式可求得異面直線EG與BD所成的角的余弦值為

3

6

．

解答：解法一：（1）證明：∵ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，
∴AD⊥AB，AD⊥PA，又AB∩PA=A，（2分）
∴AD⊥面PAB．
∵E、F分別是線段PA、PD的中點(diǎn)，
∴EF∥AD，
∴EF⊥面PAB．（6分）
（2）解：取BC的中點(diǎn)M，取DC的中點(diǎn)G，連接GM、AM、EM，則GM∥BD，（8分）
∴∠EGM（或其補(bǔ)角）就是異面直線EG與BD所成的角．（10分）
在Rt△MAE中，EM=

EA2+AM2

=

6

，同理EG=

6

，
又GM=

1

2

BD=

2

，
∴在△MGE中，cos∠EGM=

EG2+GM2-ME2

2EG•GM

=

6+2-6

2 6 • 2

=

3

6

…
故異面直線EG與BD所成的角的余弦值為

3

6

．（14分）
解法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
P（0，0，2），E（0，0，1），F(xiàn)（0，1，1），G（1，2，0）．
（1）證明：∵

EF

=（0，1，0），

AP

=（0，0，2），

AB

=（2，0，0），
∴

EF

•

AP

=0×0+1×0+0×2=0，

EF

•

AB

=0×2+1×0+0×0=0，
∴EF⊥AP，EF⊥AB．
又∵AP、AB?面PAB，且PA∩AB=A，
∴EF⊥平面PAB．又EF?面EFG，
∴平面EFG⊥平面PAB．
（2）解：∵

EG

=(1，2，-1)，

BD

=(-2，2，0)，
∴cos＜

EG

，

BD

＞=

EG • BD

| EG |•| BD |

=

-2+4

6 •2 2

=

3

6

，
故異面直線EG與BD所成的角的余弦值為

3

6

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的判定與異面直線及其所成的角，著重考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用及余弦定理解三角形的應(yīng)用，突出考查幾何法與坐標(biāo)法，屬于難題．