Question

已知函數(shù)f(x)=lnx+

1-x

ax

，其中a為大于零的常數(shù)．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間．
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）將a=1代入，求出函數(shù)的導函數(shù)，并分析導函數(shù)的符號，進而判斷出函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間．
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導函數(shù)，分a≥1，0＜a＜

1

2

，

1

2

＜a＜1三種情況，分別討論f′（x）的符號，分析出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，進而可求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

解答：解：∵函數(shù)f(x)=lnx+

1-x

ax

，
∴f′（x）=

ax-1

ax2

（x＞0）…（2分）
（1）當a=1時，f′（x）=

x-1

x2

，
當x＞1時，f′（x）＞0；當0＜x＜1時，f′（x）＜0；　　　…（4分）
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1）．　　　…（6分）
（2）當a≥1時，f′（x）≥0恒成立，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（1）=0．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…（8分）
當0＜a＜

1

2

時，f′（x）≤0恒成立，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（2）=ln2-

1

2a

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …（10分）
當

1

2

＜a＜1時，由f′（x）＞0得

1

a

＜x≤2，由f′（x）＜0得1≤x＜

1

a

．
∴f（x）在[1，

1

a

]上單調(diào)遞減，在[

1

a

，2]上單調(diào)遞增．
∴f（x）_min=f（

1

a

）=ln

1

a

+1-

1

a

．                                             …（14分）

點評：本題考查的知識點是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)的最值，熟練掌握導數(shù)法在確定函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值時的方法和步驟是解答的關鍵．