Question

【題目】如圖，在直角梯形中， ， ， .直角梯形通過直角梯形以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且使平面平面. 為線段的中點， 為線段上的動點.

（1）求證： ；

（2）當點是線段中點時，求二面角的余弦值；

（3）是否存在點，使得直線平面？請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) （3）存在點，使得直線平面

【解析】試題分析：（Ⅰ）由平面平面.．推出平面．即可證明．

（Ⅱ）以AC，AB，AA1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，求出平面ABM的一個法向量，平面APM的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角P﹣AM﹣B的余弦值．

（Ⅲ）存在點P，使得直線A1C∥平面AMP．設(shè)P（x1，y1，z1），求出平面AMP的一個法向量，求出，利用．求出λ，即可證明結(jié)果．

試題解析：

（1）由已知，平面平面

平面，平面 平面

所以平面

又平面

所以

（2）由（1）可知， ， 兩兩垂直.

分別以， ， 為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系如圖所示.

由已知

所以， ， ， ，

因為為線段的中點， 為線段的中點.

所以，

易知平面的一個法向量

設(shè)平面的一個法向量為

由得

取，得

由圖可知，二面角的大小為銳角，

所以

所以二面角的余弦值為

（3）存在點，使得直線平面

設(shè)，且， ，則

所以， ， .所以

設(shè)平面的一個法向量為，

由得

取，得（不符合題意）

又若平面，則

所以，所以

所以存在點，使得直線平面