Question

某公園準(zhǔn)備建一個(gè)摩天輪，摩天輪的外圍是一個(gè)周長為k米的圓．在這個(gè)圓上安裝座位，且每個(gè)座位和圓心處的支點(diǎn)都有一根直的鋼管相連．經(jīng)預(yù)算，摩天輪上的每個(gè)座位與支點(diǎn)相連的鋼管的費(fèi)用為12k元/根，且當(dāng)兩相鄰的座位之間的圓弧長為x米時(shí)，相鄰兩座位之間的鋼管和其中一個(gè)座位的總費(fèi)用為[

(512x2+20)x

100

+8]k元，假設(shè)座位等距離分布，且至少有四個(gè)座位，所有座位都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記摩天輪的總造價(jià)為y元．
（Ⅰ）試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
（Ⅱ）當(dāng)k=100米時(shí)，試確定座位的個(gè)數(shù)，使得總造價(jià)最低？

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)摩天輪上總共有n個(gè)座位，則x=

k

n

即n=

k

x

，由此能寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域．
（Ⅱ）當(dāng)k=100時(shí)，0＜x≤25，令y=100(

2000

x

+512x2+20)f(x)=

2000

x

+512x2，則f′(x)=-

2000

x2

+1024x=

-2000+1024x3

x2

=0．由此當(dāng)k=100米時(shí)，能確定座位的個(gè)數(shù)，使得總造價(jià)最低．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)摩天輪上總共有n個(gè)座位，
則x=

k

n

，即n=

k

x

，
∴y=12k

k

x

+

k

x

[

(512x2+20)x

100

+8]k=k2(

20

x

+

512x2+20

100

)，
定義域{x|0＜x≤

k

4

，

k

x

∈Z}；
（Ⅱ）當(dāng)k=100時(shí)，0＜x≤25，
令y=100(

2000

x

+512x2+20)f(x)=

2000

x

+512x2，
則f′(x)=-

2000

x2

+1024x=

-2000+1024x3

x2

=0，
∴x3=

1000

512

，
∴x=

5

4

，
當(dāng)x∈(0，

5

4

)時(shí)，f'（x）＜0，即f（x）在x∈(0，

5

4

)上單調(diào)減，
當(dāng)x∈(

5

4

，25)時(shí)，f'（x）＞0，即f（x）在x∈(

5

4

，25)上單調(diào)增，
∴y_min在x=

5

4

時(shí)取到，此時(shí)座位個(gè)數(shù)為

100

5 4

=80個(gè)．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分析數(shù)量間的相互關(guān)系，合理地建立方程，注意函數(shù)最小值的求法．