Question

在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c；
（1）設(shè)向量

x

=(sinB，sinC)，向量

y

=(cosB，cosC)，向量

z

=(cosB，-cosC)，若

z

∥(

x

+

y

)，求tanB+tanC的值；
（2）若sinAcosC+3cosAsinC=0，證明：a²-c²=2b²．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩個(gè)向量的坐標(biāo)寫出兩個(gè)向量的和的坐標(biāo)，根據(jù)向量平行的條件寫出關(guān)于三角形內(nèi)角的三角函數(shù)的關(guān)系式，在關(guān)系是兩邊同除以兩個(gè)角的余弦值的積，把弦化切，得到結(jié)果．
（2）本題所給的條件是既有邊又有角，首先要統(tǒng)一為一種變量之間的關(guān)系，角化邊，利用正弦定理和余弦定理轉(zhuǎn)化，得到邊之間的有一個(gè)關(guān)系完成證明．

解答：解：（1）∵向量

x

=(sinB，sinC)，向量

y

=(cosB，cosC)，
∴

x

+

y

=(sinB+cosB，sinC+cosC)． 
由

z

∥(

x

+

y

)，得 cosC（sinB+cosB）+cosB（sinC+cosC）=0，
即 sinBcosC+cosBsinC=-2cosBcosC．
所以，tanB+tanC=

sinB

cosB

+

sinC

cosC

=

sinBcosC+cosBsinC

cosBcosC

=-2．
（2）若sinAcosC+3cosAsinC=0，則 sinAcosC=-3cosAsinC，
把角之間的關(guān)系變化為邊之間的關(guān)系，
則由正弦定理及余弦定理有：a•

a2+b2-c2

2ab

=-3

b2+c2-a2

2bc

•c，
化簡(jiǎn)并整理得：a²-c²=2b² ．

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)三角函數(shù)同向量結(jié)合的問題，是以向量平行的充要條件為條件，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，是一道綜合題，在高考時(shí)常出現(xiàn)，是一個(gè)近幾年�？嫉膯栴}．