Question

如圖，橢圓C：的頂點為A₁，A₂，B₁，B₂，焦點為F₁，F(xiàn)₂，，
，
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)設(shè)n為過原點的直線，l是與n垂直相交于P點、與橢圓相交于A，B兩點的直線，，是否存在上述直線l使成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)由知，①
由知a=2c，②
又b²=a²-c²，
由①，②，③解得a²=4，b²=3，
故橢圓C的方程為。
(Ⅱ)設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，
假設(shè)使成立的直線l存在，
(ⅰ)當(dāng)l不垂直于x軸時，設(shè)l的方程為y=kx+m，
由l與n垂直相交于P點且，得，
即，
由得，
將y=kx+m代入橢圓方程，得(3+4k²)x²+8kmx+(4m²-12)=0，
由求根公式可得，，
0=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(kx₁+m)(kx₂+m)=x₁x₂+k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=(1+k²)x₁x₂+km(x₁+x₂)+m²，
將④，⑤代入上式并化簡得(1+k²)(4m²-12)-8k²m²+m²(3+4k²)=0，
將m²=1+k²代入⑥并化簡得-5(k²+1)=0，矛盾，即此時直線l不存在；
(ⅱ)當(dāng)l垂直于x軸時，滿足的直線l的方程為x=1或x=-1，
則A，B兩點的坐標(biāo)為或，，
當(dāng)x=1時，；
當(dāng)x=-1時，，
∴此時直線l也不存在；
綜上可知，使成立的直線l不存在。