Question

（本題滿(mǎn)分14分）如圖所示，正方形與矩形所在平面互相垂直，,點(diǎn)E為的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：；

（III）在線(xiàn)段AB上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為？若存在，求出

的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）.

【解析】第一問(wèn)中利用線(xiàn)面平行的判定定理可知，只要證明//，那么可以得證。

第二問(wèn)中，利用線(xiàn)面垂直度性質(zhì)定理得到線(xiàn)線(xiàn)垂直關(guān)系是證明

第三問(wèn)中，假設(shè)存在點(diǎn)點(diǎn)，使二面角的大小為，可以建立空間直角坐標(biāo)系，借助于法向量的夾角表示二面角的平面角的大小得到點(diǎn)的坐標(biāo)。

解：（Ⅰ） , 點(diǎn)E為的中點(diǎn),連接。

的中位線(xiàn) // ……2分

又           …………4分

（II）正方形中, ,     由已知可得：，

      ,

     ………………………9分

（Ⅲ）由題意可得：,以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA,DC,DD₁所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，

設(shè)，

設(shè)平面的法向量為，

則得，

取平面的一個(gè)法向量，

而平面的一個(gè)法向量為，二面角的大小為，，

故當(dāng)時(shí)，二面角的大小為………………………14分