Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx+c在點x=2處取得極值c-16，且f（x）有極大值28．
（1）求a，b，c的值；
（2）求f（x）在[-3，3]上的最小值；
（3）求函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程．

Answer 1

分析：（1）通過求導，利用已知條件找出函數(shù)的另一個極值點，對a分類討論即可得出；
（2）利用（1）的結(jié)論，把極值與區(qū)間端點出的函數(shù)值相比即可得出[-3，3]上的最大值；
（3）利用導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進而即可得到切線的方程．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax³+bx+c，∴f^′（x）=3ax²+b．
∵x=2是函數(shù)f（x）的極值點，∴x=-2也必是函數(shù)f（x）的極值點．
因此必有a＜0時

12a+b=0 8a+2b+c=c-16 c-16=28

或a＞0時

12a+b=0 -8a-2b+c=28 8a+2b+c=c-16

．
解得a＜0時無解，a＞0時解得

a=1 b=-12 c=12

∴a=1，b=-12，c=12．
（2）由（1）可知：f（x）=x³-12x+12，
f^′（x）=3（x+2）（x-2），
令f^′（x）=0，解得x=±2．
列表如下：
由表格可知：當x=2時，函數(shù)f（x）取得極小值，且f（2）=-4；又f（-3）=21．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最小值為-4．
（3）由（2）可知：f^′（1）=3×3×（-1）=-9，
又f（1）=1-12+12=1，∴切點為（1，1）．
∴函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為y-1=-9（x-1），即9x+y-10=0．

點評：熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值及分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．