Question

已知函數(shù)f(x)=sin(x-

π

2

)(x∈R)，現(xiàn)有四個(gè)命題：（1）函數(shù)f（x）的最小正周期為2π；（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上是增函數(shù)；（3）函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱(chēng)；（4）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．其中真命題的個(gè)數(shù)是（　　）

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：借助正弦函數(shù)y=sinx的周期性，單調(diào)性，對(duì)稱(chēng)性，奇偶性分別求函數(shù)f(x)=sin(x-

π

2

)(x∈R)的周期，單調(diào)增區(qū)間，對(duì)稱(chēng)軸，奇偶性，再與4個(gè)命題逐一對(duì)比，即可得到真命題個(gè)數(shù)．

解答：解：函數(shù)f(x)=sin(x-

π

2

)(x∈R)，的最小正周期T=

2π

1

=2π，∴（1）正確．
當(dāng)-

π

2

+2kπ＜x-

π

2

＜

π

2

+2kπ，k∈π時(shí)，即2kπ＜x＜π+2kπ，k∈z，函數(shù)為增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上是增函數(shù)，（2）正確．
當(dāng)x-

π

2

=

π

2

+kπ，k∈z，即x=π+kπ為函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱(chēng)．（3）正確．
∵函數(shù)f(x)=sin(x-

π

2

)(x∈R)圖象相當(dāng)于函數(shù)y=sinx的圖象向右平移

π

2

個(gè)單位，∴圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，為偶函數(shù)．∴（4）錯(cuò)誤．
∴真命題的個(gè)數(shù)是3個(gè)．
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的周期性，單調(diào)性，對(duì)稱(chēng)性，奇偶性的判斷，屬于三角函數(shù)的常規(guī)題．