Question

（2013?昌平區(qū)一模）某科技小組設計的提升重物的裝置如圖甲所示．圖中水平桿CD與豎直桿EH、DI組合成支架固定在水平地面上．小亮站在地面上通過滑輪組提升重物，滑輪組由動滑輪P和動滑輪Q（動滑輪P和動滑輪Q的質量相等）以及安裝在水平桿CD上的兩個定滑輪組成．小亮以拉力F₁勻速豎直提升物體A的過程中，物體A的速度為υ₁，滑輪組的機械效率為η_A．小亮以拉力F₂勻速豎直提升物體B的過程中，物體B的速度為υ₂，滑輪組的機械效率為η_B．拉力F₁、F₂做的功隨時間變化的圖象分別如圖23乙中①、②所示．已知：υ₁=4υ₂，物體A和物體B的質量之比為1：3，（不計繩的質量，不計滑輪與軸的摩擦）求：
（1）動滑輪P的重力與物體B的重力之比；
（2）機械效率η_B與η_A之比．

Answer 1

分析：（1）對物體及滑輪組進行受力分析，由平衡條件及滑輪組公式求出動滑輪與物體重力之比．
（2）有用功與額外功的和是總功，由功的公式求出有用功與總功，然后由效率公式求出效率，最后求出效率之比．

解答：解：設每個動滑輪受的重力為G_動．勻速提升物體A時，以物體A和動滑輪的整體為研究對象，受力分析如圖甲所示．以動滑輪P為研究對象，受力分析如圖乙所示．
勻速提升物體B時，以物體B和動滑輪的整體為研究對象，受力分析如圖丙所示．以動滑輪P為研究對象，受力分析如圖丁所示．

由圖甲、乙得：
2F₁′=G_A+G_動，2F₁=F₁′′+G_動，
因為F₁′′=F₁′
所以F₁=

GA+3G動

4

   ①，
由圖丙、丁得：
2F₂′=G_B+G_動    2F₂=F₂′′+G_動
因為F₂′′=F₂′
所以F₂=

GB+3G動

4

   ②，
由①②得

F1

F2

=

GA+3G動

GB+3G動

    ③，
由題中W-t圖象可知：P₁=

W1

t1

=90W，P₂=

W2

t2

=45W，
由

P1

P2

=

F1v1

F2v2

，υ₁=4υ₂，解得：

F1

F2

=

1

2

  ④，
由③④解得：G_B=2G_A+3G_動 ⑤，
由解得：

GA

GB

=

mAg

mBg

=

mA

mB

=

1

3

   ⑥，
由⑤⑥解得：G_A=3G_動，G_B=9G_動，
則

G動

GB

=

1

9

；
（2）η_A=

W有A

W總A

=

GAh

GAh+G動h+G動×2h

=

GA

GA+3G動

=

3G動

3G動+3G動

=50%，
η_B=

W有B

W總B

=

GBh

GBh+G動h+2G動h

=

9G動

9G動+3G動

=75%，
機械效率η_B與η_A之比

ηA

ηB

=

50%

75%

=

2

3

；
答：（1）動滑輪P的重力與物體B的重力之比為1：9；
（2）機械效率η_B與η_A之比為2：3．

點評：本題考查了求動滑輪與物體重力之比、滑輪組的效率之比，難度較大，是一道難題，對物體正確進行受力分析，應用平衡條件、滑輪組公式、效率公式，即可正確解題．