Question

如圖所示，重16km的金屬圓柱體放在圓筒形容器中，細(xì)繩AD系于圓柱體上底面中央并沿豎直方向，杠桿AB可繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)．當(dāng)把小球P先后掛在B點(diǎn)與C點(diǎn)時(shí)，圓柱體對(duì)水平容器底面的壓強(qiáng)變化了2500p_a．當(dāng)向容器中注水，使圓柱體沒(méi)入水中，為使圓柱體對(duì)容器底面的壓力恰好為零，需將小球P懸掛于距支點(diǎn)O1.4m的地方．已知杠桿在以上的各個(gè)狀態(tài)中，杠桿均在水平位置上平衡，AO=0.5m，CB=0.5m，圓柱體高h(yuǎn)=0.1m．（g取10N/km，杠桿的質(zhì)量、懸掛圓柱體和小球P的細(xì)繩的質(zhì)量均忽略不計(jì)）求：金屬圓柱體的密度．

Answer 1

分析：（1）分別在B、C點(diǎn)施加力，根據(jù)杠杠平衡條件得出關(guān)于在A端施加力F₁和F₂的方程，求出F₁和F₂的大小，而圓柱體對(duì)容器底面的壓力等于圓柱體的重力減去拉力，據(jù)此求出兩種情況圓柱體對(duì)容器底面的壓力差，再根據(jù)壓強(qiáng)公式得出關(guān)系式（關(guān)于S的方程）；
（2）圓柱體沒(méi)入水中時(shí)，杠桿平衡，圓柱體對(duì)容器底壓力恰好為零，求出繩對(duì)杠桿A端的拉力，而此時(shí)圓柱體重等于拉力加上水的浮力，求出浮力，得出關(guān)于S的關(guān)系式；
由上面兩個(gè)關(guān)系式聯(lián)立方程組解得S的大小；利用體積公式求圓柱體的體積，知道其質(zhì)量，利用密度公式求金屬圓柱體的密度．

解答：解：
設(shè)小球掛在B點(diǎn)時(shí)，繩子對(duì)杠桿A端的拉力為F₁，圓柱體對(duì)容器底面的壓力為N₁；小球掛在C點(diǎn)時(shí)，繩子對(duì)杠桿A端的拉力為F₂，圓柱體對(duì)容器底面的壓力為N₂；小球P重為G₀；圓柱體重為G．
∵F₁×AO=G₀×OB，
∴F₁=

G0×OB

AO

，
∵F₂×AO=G₀×OC，
∴F₂=

G0×(OB-CB)

AO

，
∵F₁+N₁=G，F(xiàn)₂+N₂=G，
∴N₂-N₁=F₁-F₂，
△p=

N2-N1

S

=

F1-F2

S

，
∴F₁-F₂=△pS=

G0×OB

0.5m

-

G0×(OB-0.5m)

0.5m

=G₀，
即：2500Pa×S=G₀------------①
圓柱體沒(méi)入水中時(shí)，杠桿平衡，圓柱體對(duì)容器底壓力恰好為零，繩對(duì)杠桿A端的拉力：
F₃×0.5m=G₀×1.4m，
F₃+F_浮=G，
F_浮=ρ_水gV_排=10³kg/m³×10N/kg×S×0.1m=1000S，
2.8G₀+1000S=160N------------②
由①②式解得  S=0.02m²
V=Sh=0.02m²×0.1m=2×10^-3m³
ρ=

m

V

=

16kg

2×10-3m3

=8×10³kg/m³．
答：金屬圓柱體的密度為8×10³kg/m³．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生對(duì)密度公式、壓強(qiáng)公式、杠杠平衡條件、阿基米德原理的掌握和運(yùn)用，利用杠杠兩次平衡借助圓柱體壓強(qiáng)減小值求出圓柱體的底面積是本題的關(guān)鍵．